Wie setzt sich diese Formel zusammen?
Die Gleichung zur Berechnung der Beschleunigung lautet ja s= 0,5a x t², aber wie setzt sich diese Formel zusammen. Vor allem mit dem 0,5a und dem t²?
7 Antworten
s ist ja das Integral der Geschwindigkeit vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt t. Im vt-Diagramm, wo v eine steigende Gerade mit Steigung a ist, ist v(t) = at. Das Integral entspricht der Dreiecksfläche unter dieser Gerade, und das ist genau die Hälfte des Rechtecks t mal v(t) = t mal at = at^2.
Damit wird nicht die Beschleunigung a, sondern der Weg s berechnet, wie er von der Zeit t abhängt, wenn die gegebene Beschleunigng a konstant ist. Dazu wird zweimal zeitlich integriert, mit den Anfangsbedingungen, dass Gewschwindigkeit und Weg anfangs null sind.
Beschleunigung: a
Geschwindigkeit v(t) = Integral a dt = a t + Integrationskonstante, die 0 ist
Weg s(t) = Integral v(t) dt = a Integral t dt = a t² /2 + Integrationskonstante, die 0 ist
Die Endgeschwindigkeit ist
Weg ist Geschwindigkeit mal Zeit. Also könnte man erst mal (falsch) annehmen
Der Fehler ist, dass die Geschwindigkeit ja nicht immer die Endgeschwindigkeit ist: Sie ist ja am anfang Null und steigt dann auf a*t. Wir müssen also die mittlere Geschwindigkeit nehmen, um den Weg zu berechnen, also haben wir dann
Sagen wir du fährst von A nach B. Anfangs fährst du nur sehr langsam (10km/h), wirst dann aber allmählich schneller (am Ende 120 km/h). Welche Geschwindigkeit nimmst du jetzt, um die Zeit zu bestimmen, die du benötigst? Die Formel ist ja
t = s/v
wenn du für das v 10km/h nimmst, wirst du eine zu lange Zeit herausbekommen, da du ja im Mittel schneller warst. Umgekehrt wirst du eine zu kurze Zeit herausbekommen, wenn du mit 120km/h rechnest, denn du bist ja nur am Ende 120km/h gefahren. Du benötigst daher die mittlere Geschwindigkeit, die zwischen 10 und 120 km/h liegt. Wenn du gleichmäßig schneller geworden bist, liegt die mittlere Geschwindigkeit genau in der Mitte zwischen 10 und 120 km/h, also bei 65km/h.
Bei der gleichmäßg beschleuinigten Bewegung willst du wissen, wie weit du nach t Sekunden gekommen bist. Nach t Sekunden ist die Endgeschwindigkeit a*t. Anfangs war die Geschwindigkeit aber noch Null. Deshalb ist die mittlere Geschwindigkeit genau zwischen Null und a*t, also bei a*t/2.
Klar?
Hallo,
s ist die während der Beschleunigungsphase zurückgelegte Strecke in Meter.
a ist die konstante Beschleunigung in Meter pro Sekunde zum Quadrat, t ist die Dauer der Beschleunigung in Sekunden.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Weg ist das Integral unter der Geschwindigkeit.
Bei konstanter Beschleunigung ist Geschwindigkeit über Zeit eine Gerade:
v = a*t
Das Integral über die Zeit ergibt dann eben genau
s = a *t²/2
wieso muss man dann die mittlere geschwindigkeit nehmen?