Wie rechnet man die Höhe h und den Radius R beim Kegelstumpf aus, wenn nur der Radius r gegeben ist?
Ich bin ja der Meinung, es geht nicht, um es etwas genauer zu machen, was ich meine, hab ich noch ein Bild von einem Kegelstumpf hinzugefügt. Ich hab hier ne Aufgabe, mit der man nix anfangen kann! Sie lautet ungefähr: Zwei Brüder kaufen sich ne Eistüte (Kreiskegel), die sie in der Mitte der Höhe teilen. Das ist aber nicht gerecht! WO (also in welcher Höhe) muss man die Eistüte teilen, damit beide gleich viel abbekommen?!
Den Ansatz weiß ich mittlerweile schon ----> Zuerst das Volumen des ganzen Kegels, dann die Hälfte ausrechnen... UND DANN?? Um die Höhe auszurechnen, braucht man beide Radien (also vom Kegelstumpf auch) und wir haben aber nur einen Radius angegeben! (h= 15cm; r=5cm) Wie zur Hölle soll man das denn machen?! Geht doch nur durch probieren.... ODER?! Ich komm einfach nicht weiter.... Wirklich NIEMAND konnte die Aufgabe lösen... Und so wird jeder null Punkte darauf kriegen (Wir haben die HAs schon abgegeben, aber noch nicht zurückbekommen - erst im APRIL! solange will ich mir nicht den Kopf zerbrechen!!!!) Bitte helft mir, wenn ihr könnt... Oder bestätigt mir einfach, dass da mindestens eine Angabe fehlt.....
Liebe/r BabyCupid,
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7 Antworten
Also hier nochmal mein Versuch den richtigen Lösungsweg zu erklären:
Wir wissen h = 15cm und r = 5cm.
Wenn man den den Kegel von der Seite betrachtet und in der Mitte teilt sieht man ein rechtwinkliges Dreieck (rot im Bild). Wir wollen den Kegel in einer bestimmten Höhe in einen kleinen Kegel und einen Kegelstumpf zerteilen. Der kleine Kegel entsteht indem die Spitze des großen Kegels abgetrennt wird. Das Dreieck des kleinen Kegels ist im Bild grün dargestellt.
Und laut dem Strahlensatz gilt r/h = R/H. Das ist unsere erste Formel. Umgestellt sieht das so aus: R = r/h * H
Außerdem wissen wir noch, dass das Volumen des kleinen Kegels genau halb so groß ist wie das Volumen das gesamten Kegels.
Volumen für den gesamten Kegel:
V{gesamt} = 1/3 * PI * h * r²Volumen für den halben Kegel:
V{halb} = 1/3 * PI * H * R²
Zweimal das Volumen des halben Kegels ergibt logischerweise das Volumen des ganzen Kegels:
2 * 1/3 * PI * H * R² = 1/3 * PI * h * r² |/(1/3 * PI)
2 * H * R² = h * r²
So jetzt haben wir zwei Formeln. Die Können wir dann ineinander einsetzten:
Formel I: R = r/h * H
Formel II: 2 * H * R² = h * r²
Formel I in Formel II eingesetzt:
2 * H * (r/h *H) = h * r²
2 * H * r²/h² *H² = h * r² |*h²
2 * H³ * r² = h³ * r² |/r²
2 * H³ = h³ |/2
H³ = h³/2 |jetzt die 3. Wurzel aus der Gleichung ziehen damit H alleine steht.
H = 3Wurzel(h³/2)
H = h/3Wurzel(2)
Jetzt setzen wir h = 15cm ein:
H = 15/3Wurzel(2)
H = 11,91
Jetzt noch R (indem wir den Wert in eine der Ausgangsformeln einsetzten):
R = r/h * H
R = 5/15 * 11,91
R = 3,97
Es sind zwar viele Worte um wenig Inhalt, aber ich hoffe das kann man verstehen.
Das Bild ist übrigens mit GeoGebra erstellt. Ein tolles Programm, das ich jedem Mathe-interessierten empfehlen kann.
Die Frage ist ja, ist h die Höhe wo die Brüder das Eis geteilt haben, oder wo sie das geteilt hätten müssen um die Hälft an Volumen zu erhalten.
h ist die Höhe des ganzen Kegels. Die beiden Brüder haben ihn in der Mitter der Höhe h geteilt, also bei 7,5cm.
Mach daraus ein Quader. Berechne den unteren Kreis und den oberen Kreis. Rechne das zusammen dann findest du die Mitte des Kegels. Rechne das mit deren Seite. Dann hast du das Volum. Ich hoffe du hast mich verstanden. Weisst du ich bin nicht so gut im erklären und ich weiss auch nicht ob meine überlegungen stimmen. Wenn du etwas nicht verstehst frag nochmal nach. Ich versuche es genauer zu erklären
Also... ähm, nein sorry, ich weiß überhaupt nicht, was du meinst ^^ Und das mit dem Quader verstehe ich auch nicht... Das macht doch keinen Sinn? Es geht doch schließlich um nen Kreiskegel...
Hab's grad probiert : Das Problem ist, dass du 2 unbekannte Größen suchst (Radius und Höhe des Kegelstumpfes) Beide sind Bestandteil der Formel für Volumen Kegel, so dass du nicht einfach nach 1 Größe auflösen bzw. die Formel umstellen kannst.
Muss hier leider passen : ich denk' es geht nicht
Danke - GENAU DAS dachte ich mir auch - da jetzt aber so viele das Gegenteil behaupten, bin ich noch verwirrter =D
Die Aufgabe geht zu rechen. Wenn du die Eistüte an irgendeiner Stelle teilst erhältst du zwei Teile: einen Kegel (unterer Teil) und einen Kegelstumpf (oberer Teil).
Für die beiden Teile musst du dann Formeln erstellen und die Formel gleichsetzten. So kannst du die zwei Unbekannten ausrechnen. Ich denke so sollte das gehen.
Ich versuch gleich mal die Aufgabe zu lösen. Aber ich glaube Heute finde ich dafür keine Zeit mehr. Vielleicht morgen oder in ein paar Tagen :D
Na toll. Irgendwie will das jeder, den ich frage, erst MORGEN probieren xD Muss wohl sowas wie Schicksal sein... Ich meine.. ich hab schon Kopfschmerzen davon... aber gut, danke trotzdem - Ich werds mal mit Gleichsetzen versuchen.... Mal gucken wie ich mich anstelle :D