Wie r^2 mal pi herausgefunden?
Hallo, ich wollte fragen, wie man herausfand dass r^2*pi der Flächeninhalt eines Kreises ist. Danke schonmal
5 Antworten
Das geht recht leicht, wenn man den Kreis als regelmäßiges Vieleck mit unendlich vielen Ecken auffasst.
Du kannst jedes n-Eck in n gleichschenklige Dreiecke teilen. Der Flächeninhalt (A) jedes dieser Dreiecke ist dann Grundlinie (a) mal halber Höhe (h). Da du n Dreiecke hast, ist das insgesamt:
A = n · a · h / 2
n · a ist aber der Umfang (u) des n-Ecks. Daher kannst du auch schreiben:
A = u · h / 2
Bei einem Unendlich-Eck (=Kreis) entspricht die Höhe der Teildreiecke dem Radius des Kreises, und den Kreisumfang kennen wir ja bereits:
Somit hast du:
A = u · r / 2 = 2 · r · π · r / 2
Zusammengefasst ergibt das:
A = r² · π
Sorry, habe die Frage nicht genau gelesen, werde mich nächstes Mal zurückhalten. Danke für deine Antwort.
Heureka! Das hat der gute Archimedes herausgefunden
Archimedes hat um den Kreis herum ein gleichseitiges Sechseck gelegt und dessen Fläche berechnet. Die Seitenhöhe jedes Dreiecks im Rechteck ist gleich r. Anschliessend hat er ein inneres Sechseck genommen und wieder die Fläche berechnet. Die Seitenlänge des inneren Rechtecks ist gleich r.
Aus dem Durchschnitt von beidem hatte er die Fläche näherungsweise.
Anschliessend hat er dasselbe mit 12-Ecken, 24-Ecken, 48-Ecken und 96-Ecken gemacht.
Ob er tatsächlich der Erste war, der dieses Verfahren angewandt hat, ist nicht sicher. Es gibt einen Papyros, der vielleicht auf die Babylonier zurückgeht und der Berechnung an Kreisen zeigt. Soweit ich weiß ist dieser noch nicht übersetzt.
Wie man es erstmals herausgefunden hat, steht bei der Antwort von @SchakKlusoh.
Ich habe die Herleitung mittels Integralrechnung beigebracht bekommen.
Falls Du Dich damit auskennst (nicht schlimm, wenn nicht), schau mal hier ;)
Man zeichnet um einen Kreis ein gleichseitiges Dreieck, das den Kreis in der Mitte jeder Seite ber+ührt, und berechnet dei Fläche.
Dann macht man das mit einem Viereck. Dann mit eine Fünfeck usw. Dabei nähert sich dieses umschreibende Vieleck mit steigender Zahl der Ecken immer näher dem Kreis an.
Und die Formel für die Fläche dieses Vieleckes nähert sich immer mehr r^2 x PI an.
Da das Vieleck niemals absolut die Kreisform erreicht, ist auch Pi eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nie "zuende geht".
Das selbe kann man übrigens auch mit dem eingeschriebenen Vieleck machen, d.h. man berechnet die Fläche eines gleichseitigen n-Ecks, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Dann nähert man sich der Zahl Pi von unten.
Das ist richtig, aber nicht die richtige Antwort.