Wie löst man die Gleichung 37=36,5+x*e^(-0,1x)?

4 Antworten

DepravedGirl
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
21.11.2015, 18:48

37 = 36.5 + x * e^(-0.1 * x) |-36.5

1 / 2 = x * e ^ (-0.1 * x)

x = 1 / (2 * e ^(-0.1 * x))

x = e ^ (0.1 * x) / 2

und

x = ln(2 * x) / 0.1

Iteration -->

Startwert --> x = 0

x = e ^ (0.1 * 0) / 2

x = 1 / 2

x = e ^ (0.1 * 1 / 2) / 2

x = 0.525635548

x = e ^ (0.1 * 0.525635548) / 2

x = 0.526984772

x = e ^ (0.1 * 0.526984772) / 2

x = 0.527055879

x = e ^ (0.1 * 0.527055879) / 2

x = 0.527059627

x = e ^ (0.1 * 0.527059627) / 2

x = 0.527059824

Brechen wir hier mal ab, Näherungswert für die erste Nullstelle x _ 1 = 0.52706

Startwert --> x = 40

x = ln(2 * 40) / 0.1

x = 43.82026635

x = ln(2 * 43.82026635) / 0.1

x = 44.73243593

x = ln(2 * 44.73243593) / 0.1

x = 44.93846055

x = ln(2 * 44.93846055) / 0.1

x = 44.98441191

x = ln(2 * 44.98441191) / 0.1

x = 44.99463208

x = ln(2 * 44.99463208) / 0.1

x = 44.99690376

x = ln(2 * 44.99690376) / 0.1

x = 44.99740863

x = ln(2 * 44.99740863) / 0.1

x = 44.99752083

x = ln(2 * 44.99752083) / 0.1

x = 44.99754576

x = ln(2 * 44.99754576) / 0.1

x = 44.9975513

x = ln(2 * 44.9975513) / 0.1

x = 44.99755253

Brechen wir hier mal ab, Näherungswert für die zweite Nullstelle x _ 2 = 44.99755

Zusammenfassung der Näherungswerte -->

x _ 1 = 0.52706

x _ 2 = 44.99755
DepravedGirl  21.11.2015, 18:54

Die exakteren Wert sind -->

x _ 1 = 0.5270598355154634 nach 13 Iterationen

x _ 2 = 44.99755288523487 nach 23 Iterationen

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Bebop1337 
Beitragsersteller
 21.11.2015, 19:19

Vielen dank für die antwort! Ist das die einzige Lösungsmöglichkeit?

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DepravedGirl  21.11.2015, 19:21
@Bebop1337

Schaue mal bei dem nach, was slutangel22 geschrieben hat.

Es gibt noch mehr Verfahren, slutangel22 hat das Newton-Verfahren schon erwähnt, damit geht es auch.

Explizit ausrechnen lässt es sich nicht, weil es sich nicht direkt nach x auflösen lässt.

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Bebop1337 
Beitragsersteller
 21.11.2015, 19:24
@DepravedGirl

Wie heißt das Verfahren, welches du verwendet hast? :)

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fjf100  22.11.2015, 00:23
@DepravedGirl

Tangentenverfahren nach Newton x2=x1 - (f(x1) / f´x1))

hier ist x1 der Schätzwert und x2 der verbesserte Wert,der dann wieder in die Formel eingesetzt wird.

oder Sehnenverfahren nach "Regula Falsi" 

x3= x2 - (x2-x1) / (y2-y1) * y2 mit x2>x1 Nullstelle muss zwischen x2 und x1 liegen

x3 ist dann der verbesserte Wert 

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fjf100
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Funktion
22.11.2015, 00:17

0= - 0,5 + x * e^(-0,1 *x) = -0,5 + x/ e^(0,1 *x)

Mit normalen Mitteln ist diese Aufgabe nicht lösbar ,weil x nicht alleine auf eine Seite gebracht werden kann.

Lösung mit meinen Graphikrechner (Casio),solltest dir auch einen zulegen !!

Nullstellen bei x1= 0,527 und x2= 44,99 Maximum bei xmax= 10 y=3,178

Nullstellenermittlung in Handarbeit mit der Näherungsformel nach Newton

x2=x1 - (f(x1) / f´(x1) ) hier ist x1 der Schätzwert,der nahe an der Nullstelle liegt und x2 ist der verbesserte Wert,der wieder in die Formel eingesetzt wird.

Das Verfahren wird so oft wiederholt,bis die Genauigkeit ausreicht.

Eine weitere Näherungsformel ist die nach "Regula Falsi"
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert
hypergerd
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
22.11.2015, 13:10

Alles mit x*e^(x....) kann mit der Umkehrfunktion LambertW berechnet werden

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

§6 mit p=0 und h=1 ist genau Dein Fall:

37=36,5+x*e^(-0,1x)

37=365/10+x*e^(-x/10) |-365/10

(37-365/10)=x*e^(-x/10)|/(-10) <---- §6

(365/100-37/10)=(-x/10)*e^(-x/10)|Substitution u=(-x/10)

u=LambertW(n,(365/100-37/10)) | Rück-Subst.

-x/10=LambertW(n,365/100-37/10)|*(-10)

x=-10*LambertW(n,-1/20) mit n=-2...1

gute Rechner wie der dort unten im LINK (Umkehrfunktionen Rechner) können das: siehe Bild

Die anschließende Multiplikation mit -10 kann man im Kopf:

x1=51.814272658519547669641169 +72.32315605151520934150963049 i 

x2=44.99755288523487535974733258419

x3=0.5270598355154634795995650617921

x4=51.8142726585195476696411698-72.32315605151520934150963049 i

...
LambertW per Umkehrfunktionen Rechner - (Mathematik, Funktion)
slutangel22
21.11.2015, 18:02

Auch einfach aussehende Probleme können schwierig sein. Zum Beispiel Gleichungen der form

x * e^x = a

Traurig, aber wahr: Es gibt keine geschlossene analytische Darstellung für x. Natürlich könnte es trotzdem eine Lösung geben, man kann ja zum Beispiel einfach mal den Graphen von f(x) = x*e^x - a zeichnen und schauen, wo der seine Nullstellen hat. Statt "schauen" kann man auch mathematische Methoden nehmen, die zum Bereich der Numerik gehören. Das wäre jetzt aber vielleicht etwas too much.