Wie löse ich folgende Aufgabe?
Für k > 0 ist die Funktion f_k gegeben durchBerechne k so, dass der Graph f_k mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 8 einschließt.
Ich habe jetzt erstmal die Nullstellen raus. Da habe ich x1 = -k; x2 = 0; x3 = k
Und dann habe ich versucht die Fläche zu berechnen. Also erstmal Stammfunktion gebildet:
F(x) = [1/4x^4 - 1/2x²], aber was mache ich danach?
4 Antworten
Int von -k bis 0
+
Int von 0 bis +k
.
Achtung !
F(x) = 0.25*x^4 - 0.5*k²x²
k² verschwindet nicht !
.
Also
ober (0) minus untergrenze (-k)
bringt
0.25*x^4 - 0.5*k²x² - ( 0.25*x^4 - 0.5*k²x² )
=
0 - ( 0.25*(-k)^4 - 0.5*k²(-k)² )
.
Dasselbe mit 0 bis +k . Wegen Symmetrie sind beide Flächen gleich groß, also mal 2 oder beide Integrale addieren .
dann gleich 8 setzen und k bestimmen
.
für k solltest du +2 oder -2 erhalten
aus (k^4)/2 = 8 oder (k^4)/4 = 4
Lösung mit x = - 2
Und für die andere Fläche habe ich irgendwie k=4√-2 raus
Bei dem einen Integral habe ich 1/4k^4 raus und bei dem anderen -1/4k^4
Wenn ich beide jetzt addiere ergibt das 0?
richtig ! Man nimmt aber die Beträge , da ist das Vorzeichen weg und addiert sind es 2/4 * k^4 = 1/2 * k^4............... das jetzt = 8
Ach stimmt, vielen Dank!! Also ich habe jetzt für k = 2 raus.
Aber in den Lösungen steht irgendwie:
k = 4√32 = 2 * 4√2
die Funktion ist symmetrisch zum Urspung, die beiden Teilflächen sind betragsmäßig gleich groß
also
k und 0 in Stammfunktion einsetzen, dann nach dem gesuchten k auflösen
bei deiner Stammfunktion fehlt k²
Ja, stimmt.
Muss ich jetzt: F(0) - F(-k) = 8 nach k umformen
und dann auch F(k) - F(0) = 8 auch umformen?
F(k)-F(0) = 4 reicht
du hast zwei Flächen zwischen dem Schaubild und der x-Achse, die beide den gleichen Flächeninhalt haben.
Die Fläche zwischen 0 und k ist dann halb so groß wie die Gesamtfläche, deshalb die 4
Muss ich die 2 k Werte dann miteinander addieren um auf k zu kommen?
die Fläche zwischen 0 und k liegt unterhalb der x-Achse, das Integral ist deshalb negativ
also F(k)-F(0)=-4
da fehlt do bei der Srammfunktion hinten das k²
also
1/4 x^4 - 1/2 k² x²
und jetzt die Nullstellen einsetzen als Grenzen von 0 bis k und = 8/2
nach k auflösen.
1/4 k^4 = 4
k ^4 = 16
k=2
kleiner Fehler:
1/4k⁴-1/2k²k² = -1/4k⁴ und nicht 1/4 k⁴
da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, muss rechts -4 stehen oder man muss den Betrag von der linken Seite nehmen
ok, dann stimmts
es könnte aber manche verwirren wenn sie es versuchen ohne Betrag zu rechnen
Ganz einfach: Die Gleichung auflösen. Nur "x" einsetzen. Der Rest ergibt sich von selbst.
Oder?
Sorry - kleiner Scherz. Ich habe in Deutschland wohl mit dem schlechtesten Abi abgeschnitten, das überhaupt möglich war. Daher verstehe diese mathematische Aufgabenstellung noch nicht mal im Geringsten. Aber Eines kann ich:
Kommentare zu schreiben. Die beachtet werden. Welchen Wert auch immer Sie haben mögen.
Oder?
Genau: 0 - ( 0.25*(-k)^4 - 0.5*k²(-k)² ) = 8 gleichsetzten
habe ich für k=√2 raus