Wie löse ich diese Doppelsumme auf?

Hallo, kann mir bitte wer erklären wie ich diese Doppelsumme auflöse?

Answer 1

[mihisu]

Naja, das hätte ich jetzt nicht als Doppelsumme bezeichnet, das das nicht eine Summe in einer Summe ist, sondern zwei verschiedene Summen, die man getrennt voneinander berechnen kann. Und genauso kann ein möglicher Rechenweg dazu aussehen: Berechne zunächst einmal getrennt voneinander die beiden Summen.

$\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}2i}_{A:=}-\underbrace{\sum\limits_{j=1}^{n}\left(2j-1\right)}_{B:=}$

Die Summe B kann man wegen...

$\sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_j\pm b_j\right)=\sum\limits_{j=1}^{n}a_j\pm \sum\limits_{j=1}^{n}b_j$

... in zwei Summen aufteilen.

$B=\sum\limits_{j=1}^{n}\left(2j - 1\right)=\sum\limits_{j=1}^{n}2j- \sum\limits_{j=1}^{n}1$

Beim linken Teil kann man nun den konstanten Faktor 2 vor die Summe ziehen (quasi wegen Distributivität ausklammern).

$B=\ldots =2\cdot \sum\limits_{j=1}^{n}j- \sum\limits_{j=1}^{n}1$

Für den linken Teil kann man nun weiter die Gauß-Summenformel nutzen. Beim rechten Teil summiert man n-mal den gleichen konstanten Summanden 1, was einfach n-mal diese Konstante ergibt.

$B=\ldots =2\cdot \frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2} - n\cdot 1=n\cdot \left(n+1\right)-n=n^2+n-n=n^2$

Andererseits erhält man für die Summe A...

$A=\sum\limits_{i=1}^{n}2j=2\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}j=2\cdot \frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}=n\cdot \left(n+1\right)=n^2+n$

Damit erhält man dann insgesamt...

$\overbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}2i}^{A}-\overbrace{\sum\limits_{j=1}^{n}\left(2j-1\right)}^{A}=\overbrace{n^2+n}^{A}-\overbrace{n^2}^{B}=n$

============

Alternativ könnte man auch nach dem Aufteilen der rechten Summe erkennen, dass

$\sum\limits_{i=1}^{n}2i\quad\text{ und }\quad \sum\limits_{j=1}^{n}2j$

gleich sind. Das ist die gleiche Summe, nur mit anderer Benennung des Summationsindex. Dementsprechend kann man dann schnell merken, dass sich diese Summen bei der Subtraktion gegenseitig zu 0 wegkürzen. Also...

$\sum\limits_{i=1}^{n}2i-\sum\limits_{j=1}^{n}\left(2j-1\right)=\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}2i}_{S}-\left(\underbrace{\sum\limits_{j=1}^{n}2j}_{S}-\sum\limits_{j=1}^{n}1\right)$

$\quad =S-\left(S-n\cdot 1\right)=S-S+n=n$

Oder, anstatt dass man die rechte Summe aufteilt, könnte man auch die Summen (nach Umbenennung des Summationsindex) zu einer Summe zusammenfassen. Also...

$\sum\limits_{i=1}^{n}2i-\sum\limits_{j=1}^{n}\left(2j-1\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}2i-\sum\limits_{i=1}^{n}\left(2i-1\right)$

$\quad =\sum\limits_{i=1}^{n}\left(2i-\left(2i-1\right)\right)$

$\quad =\sum\limits_{i=1}^{n}\left(2i-2i+1\right)$

$\quad =\sum\limits_{i=1}^{n}1=n\cdot 1=n$

Comments

[Lenam124]

Danke für die Erklärung!

Answer 2

[tunik123]

Wie die Laufvariablen in den Sumnen heißen, ist egal. Also würde ich erstmal das j in i umbenennen.

Da die Grenzen 1 und n für beide Summen gleich sind, kann man zusammenfassen und summiert 2i - (2i - 1). Das aber 1, also werden n Einsen summiert und das Ergebnis ist n.

Comments

[FataMorgana2010]

Ganz genau, man darf sich von den unterschiedlichen Bezeichnungen nicht verwirren lassen. Ob ich die Laufvariable i oder j nenne, ändert nix am Ergebnis. Es ist völlig überflüssig, das dann auszurechnen. Das jetzt weiter auseinanderzunehmen zeigt sogar, dass man das Rechnen mit dem Summenzeichen noch nicht so ganz verstanden hat. tunik123 macht es völlig richtig.

[Lenam124]

Danke!