Wie löse ich diese Aufgabe?

Helft mir bitte bei dieser Matheaufgabe.

Answer 1

[mihisu]

Zuerst ganz normal integrieren. Dann erhältst du einen von a abhängigen Term, den du als Funktionsterm einer Funktion A(a) sehen kannst. Und bei dieser Funktion A(a) ist dann die Minimumstelle gesucht. [Dazu kannst du dann A(a) bzgl. a ableiten und auf Nullstellen untersuchen.]

====== Eigenes Beispiel ======

$f_a(x) = -12 a x^2 + 7 x + a^2$

$A(a):=\int\limits_{0}^{1}f_a(x)\,\text{d}x = \int\limits_{0}^{1}\left(-12 a x^2 + 7 x + a^2\right)\,\text{d}x$

$=\left[-4 a x^3+\frac{7}{2}x^2+a^2 x\right]_{x=0}^{x=1}$

$=\left(-4 a\cdot 1^3+\frac{7}{2}\cdot 1^2+a^2 \cdot 1\right)-\left(-4 a \cdot 0^3+\frac{7}{2}\cdot 0^2+a^2 \cdot 0\right)$

$=-4 a+\frac{7}{2}+a^2-0$

$=a^2-4 a+\frac{7}{2}$

Wann wird nun A(a) minimal?

$A'(a)=2a-4$

$A'(a)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2a-4=0\quad \Leftrightarrow \quad a=2$

Bei a = 2 wechselt A′(a) das Vorzeichen von negativ zu positiv, so dass dort das Minimum von A(a) liegt.

Ergebnis: Der gesuchte Wert ist a = 2.

Answer 2

[Rhenane]

Zuerst integrierst Du "ganz normal" die Funktionsscharen in den Grenzen 0 bis 1 (ohne auf eventuelle Nullstellen in diesem Bereich zu achten) und erhältst so eine Funktion, die von a abhängig ist. Von dieser Funktion berechnest Du den/die Tiefpunkt/e.