Wie lese ich die Asymptote ab?
Könnt ihr mir sagen wie ich eine Asymptote bei Funktionen ablese und was die Asymptoten bei den Funktionen im Bild sind?
3 Antworten
Vom Funktionsterm die Asymptote abzlesen ist oft nicht so einfach. Die Asymptote ist ja eine "vereinfachte" Funktion (z. B. lineare od. quadr. Funktion) an die sich die eigentliche Funktion im Unendlichen immer enger annähert (ohne sie dort irgendwann zu berühren).
D. h. Du musst die Grenzwerte für x gegen plus- und minus-unendlich "grob" bestimmen und daraus Deine Schlüsse ziehen.
Bei der ersten Funktion z. B. läuft die e-Potenz für x->plus-unendlich gegen Null, d. h. es bleibt quasi 7x-2 übrig. Die 2 spielt im Unendlichen ebenfalls keine Rolle mehr, somit wäre hier 7x die Asymptote. Für x->minus-unendlich steigt die e-Potenz immer stärker an, so dass der Rest dahinter keine Rolle mehr spielt. Da man bei der e-Funktion aber wohl nicht von einer "vereinfachten" Funktion sprechen kann, gibt es in diese Richtung keine Asymptote.
Die Funktionen zu den Funktionsterme "7x-2", "3" und "-x" sind bereits Geraden. Da gibt es keinen einfacheren Term an den sich diese Funktionen annähern könnten.
"-e^x+3" hat eine waagerechte Asymptote bei y=3, weil e^x für x-> minus-unendlich gegen Null läuft.
Bei "-2e^(-x)-x" spielt die e-Potenz für x->plus-unendlich keine Rolle mehr, somit ist hier "-x" die Asymptote.
Als Asymptote kannst du dir eine Gerade parallel zur X-Achse vorstellen, die sich in/ab einem bestimmten Bereich fast nicht mehr von deiner Funktion unterscheiden lässt. Setzt du für e hoch x z.B. sehr große negative Werte ein erhältst du einen sehr kleinen Wert und der Funktionsgraph würde sich bei immer negativeren Werten der x-Achse annähern.
Die ist aber nicht immer parallel zur x-Achse oder?
Ja diese Funktion der sich deine annähert kann theoretisch jede Art von Funktion sein. Meistens sind es aber sehr einfache Funktionen ersten Gerades. Also für
"f(x)=e^x" wäre es "g(x)=0". Für "f(x)=e^x +5" aber g(x)=5.
Es muss nicht immer eine zur x-Achse parallele Gerade sein, aber das ist oft das häufigste Beispiel.
Ein andere Situation hast du bei f(x)=1/x. Wenn hier der x Wert immer kleiner wird, also gegen Null geht, wächst der Funktionswert ziemlich schnell an. Da 1/0 aber nie erreicht werden kann, weil diese Rechnung nicht funktioniert, wächst er ziemlich schnell ins Unendliche. Hier könntest du sagen, dass sich f(x)=1/x asymptotisch der y-Achse annähert. Hier kannst du aber leider schlecht einen Funktionswert für deine Asymptote angeben. Du müsstest dir einfach denken, dass es sich um eine Linie parallel zur y-Achse handelt.
Ich kann mir noch ein paar andere Fälle vorstellen, wo sich Funktionen anderen Funktionen annähern würden, aber bei dir reichen wahrscheinlich erstmal Geraden.
Hier hast du z.B. f(x)= e^(x) + x
Im negativen kannst du den Teil e hoch x quasi vernachlässigen, da er einfach vernachlässigbar klein wird und du hast nur noch eine um 45° geneigte Gerade.
