Wie leitet man tan(|x|) ab? Also zB. 1/tan|x|?

Wie leitet man tan(|x|) ab? Also zB. 1/tan|x|?

Answer 1

[mihisu]

Wie kommst du auf 1/tan|x|?

============

$f(x)=\tan(\left\lvert x\right\rvert)$

Ich würde den Betrag mit Hilfe einer Fallunterscheidung in den Griff bekommen...

------ Für x > 0...------

Für alle x aus dem Definitionsbereich der Tangensfunktion mit x > 0 ist...

$f(x)=\tan(x )$

Dementsprechend erhält man dann für diese x-Werte...

$f'(x)=\tan'(x )=1+\left(\tan(x)\right)^2$

------ Für x < 0 ------

Für alle x aus dem Definitionsbereich der Tangensfunktion mit x < 0 ist...

$f(x)=\tan(-x)$

Dementsprechend erhält man dann für diese x-Werte (mit Hilfe der Kettenregel)...

$f'(x)=\tan'(-x)\cdot (-1)=\left(1+\left(\tan(x)\right)^2\right)\cdot (-1)=-\left(1+\left(\tan(x)\right)^2\right)$

------ Für x = 0 ------

Für die Ableitung an der Stelle x = 0 erhält man...

$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan(\left\lvert x\right\rvert)-\overbrace{\tan(\left\lvert 0\right\rvert)}^{=0}}{x - 0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan(\left\lvert x\right\rvert)}{x}=\ldots$

Dieser Grenzwert existiert genau dann, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existieren und miteinander übereinstimmen. Für den linksseitigen Grenzwert erhält man...

$\lim\limits_{x\nearrow 0}\frac{\tan(\left\lvert x\right\rvert)}{x}=\lim\limits_{x\nearrow 0}\frac{\tan(- x)}{x}=\lim\limits_{x\nearrow 0}\frac{-\tan(x)}{x}=-\lim\limits_{x\nearrow 0}\frac{\tan(x)}{x}=-\tan'(0)=-1$

Und für den rechtsseitigen Grenzwert erhält man...

$\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{\tan(\left\lvert x\right\rvert)}{x}=\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{\tan(x)}{x}=\tan'(0)=1$

Da linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert die Ableitung der Funktion f an der Stelle 0 nicht.

==========

Mit D als Bezeichnung für den Definitionsbereich der Tangensfunktion...

$D=\mathbb{R}\setminus \left\lbrace \frac{\pi}{2}+k\cdot \pi \middle| k\in\mathbb{Z}\right\rbrace$

... erhält man also als Ergebnis...

$f'(x)=\begin{cases}1+\left(\tan(x)\right)^2 & \text{ für }x\in D\text{ mit }x>0\\-\left(1+\left(\tan(x)\right)^2\right) & \text{ für }x\in D\text{ mit }x<0\end{cases}$

[An der Stelle x = 0 ist f'(x) nicht definiert.]

Answer 2

[ChrisGE1267]

Z.B. mit der Kettenregel und unter Beachtung, dass |x| an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 3

[HansWurst45]

Indem du zuerst den Tangens als Quotienten von Sinus und Cosinus schreibst

Das schreibst du dann als Sin(x) * cos(x)^-1 und wendest dann die Multiplikationsregel (u'v +v'u) an

Comments

[HansWurst45]

sorry, ich hatte die Betragsstriche übersehen. Formal musst du dann jedes mal die Kettenregel benutzen und kommst dann bei x=0 auf eine unendliche Steigung der Betragsfunktion, die aber am Ende mit 0 (aus tan(0)=0) multipliziert wird, also musst du formal den limes für x gegen null for recht- und linksseitige Annäherung berechnen, was dich Wahnsinnig machen wird weil du das dann gleich mehrfach machen musst. .

Meine Lösung wäre es, die Funktion in zwei Teilfunktionen für x>0 und x<0 aufzuteilen und -x = z zu substituieren, und am Ende zu prüfen, ob die beiden (Teil)-Ableitungen nahtlos aneinander passen.

[HansWurst45]

und die Kettenregel für cos(x)^-1 (innen mal aussen)