Wie lässt sich dies als eine Summe angeben für steigendes n?
n=1: x
n=2: x^2-1
n=3: x^3-2x
n=4: x^4-3x^2+1
Wie lässt sich dies mit einem Summenzeichen darstellen, also wie hängen die Gleichungen zusammen?
3 Antworten
Setzt man für n=0 noch eine 1, dann hat man folgendes mögliches Bildungsgesetz:
Term für n+1 = Term für n, mal x, minus Term für n-1,
macht für n=5:
( x^4-3x^2+1 ) * x - ( x^3-2x ) = x^5 - 4 x^3 + 3 x
Diese Rekursion könnte man nun noch versuchen aufzulösen.
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Nachtrag, in Kurzform, wegen des Kommentars, nennen wir die Polynome p(n,x) mit p(-1,x) = 0 und p(0,x) = 1, dann setzt man eine erzeugende Funktion an,
f(x,y) = Summe( n=0, unendlich, y^n p(n,x) ), mittels der Rekursion erhält man
f(x,y) = 1 / ( 1 - xy - y^2), was nun als Reihe in y zu entwickeln ist, die gewünschte Formel kann dann als Koeffizient von y^n abgelesen werden, es ergibt sich der etwas unschöne Ausdruck, p(n,x) =
( 2^(-1-n) (-(x - Wurzel(4 + x^2))^(1+n) + (x + Wurzel(4 + x^2))^(1+n))) / Wurzel(4 + x^2)
den zu vereinfachen mir bislang nicht gelungen ist. Vielleicht gibt es auch einen besseren Ansatz.
Supi!
Bei WolframAlpha bin ich immerhin so weit gekommen:
expand [RecurrenceTable[{a[n] == x*a[n - 1] - a[n - 2], a[0] == 1, a[1] == x}, a, {n, 16}]]
Es ist mir allerdings nicht gelungen, Wolfram zum Aufsummieren der ersten k Terme zu bewegen. Weiß hier vielleicht jemand, wie das geht?
und eine allgemeine Summe für Terme bis 100 oder mehr
x + (x^2-1) + (x^3-2x) + (x^4-3x^2+1) = x^4 + x^3 - 2 x^2 - x
Aber wie geht es weiter als allgemeine Summe, nicht zusammen für n=5 usw?
Σ((-1)^(k-1) * (n über k) * x^(n-k)) für k = 1 bis n
Die korrekte Darstellung der gegebenen Gleichungen für n=1 bis n=4 wäre:
n=1: x^1
n=2: x^2 - 1
n=3: x^3 - 2x
n=4: x^4 - 3x^2 + 1
Es gibt keine einfache Summenzeichen-Darstellung, die alle diese Gleichungen zusammenfasst, das Wissen habe ich vorausgesetzt.
Mit der Kombinatorik
(n über k) = n! / (k! * (n-k)!)
Das Ausrufezeichen (!) steht für die Fakultätsfunktion.
Du bist nicht der einzige der Studiert…habe ich schon alles hinter mir.
sicher? Für n=4 passt es nicht