Wie lässt sich die Laurentreihe bestimmen und daraus das entsprechende Residuum?
- f(z)=1/(zsin(z))
- f(z)=z/sin(z)
Das Residuum entspricht dem Koeffizienten c_-1.
Ausreichend ist die Reihe bis zur Ordnung 4.
1 Antwort
Ich würde mit 2. anfangen. (Bekanntlich?) ist lim z-> 0 sin(z)/z = 1. Gleichzeitig ist sin(z)/z eine gerade Funktion. Daher gilt: sin(z)/z = 1 + O(z^2); für den Kehrwert gilt dann ebenfalls: z/sin(z) = 1 + O(z^2).
Für 1. ergibt sich: 1/(z sin(z)) = (1/z^2) * (z/sin(z)) = 1/z^2 + O(1).
PS: Man kann sogar noch einfacher argumentieren: Da beide Funktionen gerade sind, kann die Laurent-Entwicklung keine ungeraden Terme enthalten, c_{-1} muss also in jedem Fall verschwinden…
wie kommt man auf die Koeffizienten?
Hab keine Lust, das nachzurechnen - Du kannst das ja einfach nachprüfen, indem Du das Ergebnis mit der Sin-Reihe rückmultiplizierst…
habe ich aber es entstehen ja lediglich die Koeffizienten der Sinusreihe 1! 3! etc. wie können so komische Koeff. entstehen?
Hier steht‘s unter „multiplikativ Inverses“…
Kannst du einmal konkret zeigen, wie ein Koeff. entsteht, bitte?
Was wäre die höheren Terme? Ich hatte mit Wolfram Alpha kontrolliert und erhalte für 1/(zsin(z)) 1/z^2+1/6+7z^2/360 ist dies korrekt?