Wie kommt man hier auf minus unendlich?
4 Antworten
Der Ausdruck (x^2-9) wird, wenn x gegen 3 läuft 0; im Zähler wächst -3x^3 am stärksten, also dominiert sein Vorzeichen: Du hast damit eine Form -1/0, was eben gegen minus unendlich "geht".
Du lässt die Funktion gegen den Grenzwert laufen; also +3 einsetzen.
Beachte aber: So offensichtlich ist das nicht immer.
Existiert exemplarisch ein Ausdruck der Form lim x->1 für f(x) = (x^2-1)/(x-1), faktorisierst du den Zähler zu ((x+1)(x-1))/(x-1) und kürzt dann (x-1) heraus und erhälst damit den Ausdruck f(x) = (x+1), mit x->1 = 2, und nicht wie manch einer vermuten würde +unendlich, oder 0 (0/0).
Also kommt es nicht auf 1+0 bzw 1 ein, wenn man faktorisieren kann, dann muss man einfach kürzen und einsetzen und wenn nicht, dann schätzt man?
Es gilt bei Grenzwertbetrachtung unter anderem immer, den Term soweit wie nur möglich umzuformen und dann einzusetzen. Du rechnest einfach mit x weiter wie gewohnt, und setzt ihn am Ende der Umformungen ein. Dann erhälst du eine Zahl, oder eben unendlich..
Bitte aber selber nochmal recherchieren.
Aber trotzdem kann man nicht sofort sehen, ob man etwas herauskürzen kann oder nicht? oder?also muss man ausprobieren oder gibt es einen Hinweis?
Ist halt Übung: Manchmal sieht man es, manchmal muss man halt probieren. Eine - exemplarisch - quadratische Gleichung kann man mit den binomischen Formeln vereinfachen, häufig kürzt sich dann im Nenner etwas raus.
und wie kommt man auf die Form Form -1/0?
Das -1 war jetzt willkürlich; damit wollte ich kommunizieren, dass der Nenner negativ ist: Der Nenner ist ein Vielfaches einer negativen Zahl.
und wenn da zb im Zähler -x^2+10000 stehen würde, würde trotzdem -x^2 dominieren und der Grenzwert minus unendlich sein?
Nein, du setzt es ja ein, dann sähest du ja, ob es positiv oder negativ wird. Es ging darum, abzuwägen, dass x^3 die höchste Potenz hat, und damit x^3 auch auf jeden Fall jede andere Potenz kleiner als 3 dominiert, also "beherrschen" könnte. Die Konstant kann aber das Vorzeichen noch immer verschieben.. Deswegen: Erst umformen, dann einsetzen.
und wenn ich 3 in den Zähler einsetze dann kommt -24 raus, bzw -24/0, deshalb -unendlich?
Kommt drauf an... Eigentlich nicht unbedingt (wenn ich mich nicht täusche). Du musst den Ausdruck so umformen, dass du die Eigenschaften für Unendlich darauf anwenden kannst.
Die Vorgehensweise hier:
Du hast:
lim x->3+ für f(x) = (-3x^3+3x^2+15x-15)/(x^2-9)(x-1)
Das eben wie oben erwähnt faktorisieren ergibt:
3*(-1+x)(x^2-5)/(x-1)(x^2-9)
Es kürzt sich der lineare Term weg und übrig bleiben:
-3*(x^2-5)/(x^2-9)
also
f(x) = -3*(x^2-5)/(x^2-9)
Du weißt sicher, dass man den Faktor vor das Limes ziehen kann, also:
-3* lim x->3+ f(x) = (x^2-5)/(x^2-9)
Das umschreiben zu: -3* lim x->3+ f(x)= (x^2-5) * 1/(x^2-9)
Nun endlich 3 einsetzen, wir erhalten:
einmal:
3^2 - 5 = 4
und 1/(9-9) "=" unendlich
und damit am Ende:
-3*4*unendlich = -unendlich.
Es gibt Internet-Plattformen, die berechnen dir das, aber üben tut man am besten, wenn man sich selbst dran tastet.
Es ist im Grunde einfach nur Faktorisieren und geschicktes "Isolieren" um den Ausdruck intuitiv sinnvoll zu machen.
Dann einsetzen, prüfen, was mit dem Term geschieht, fertig.
Fehler nicht ausgeschlossen.
Und Gott alleine weiß es am allerbesten und besser.
Also, die Erklärungen der Kollegen sind ja schon ganz gut, nur, Leute, merkt euch das mal: Einen Limes unendlich gibt es nicht.
Primitiv ausgedrückt: Die höchste Potentz steht im Zähler mit negativem Vorzeichen.
der Nenner geht gegen null, der Zähler ebenfalls. knapp oberhalbwird der nenner positiv, der Zähler negativ aber wegen der höheren Potenz von beliebig größerem Betrag in unmittelbarer Nähe der drei, das bedeutet minus unendlich
danke, müsste man nicht -3 direkt in die funktion einsetzen, oder wäre das nur der Fall wenn dort stehen würde lim x->3 und nicht x->3+0