Wie kann man überprüfen ob eine Tangente den Graphen ein zweites mal kreuzt oder berührt?

Du musst die Geradengleichung der Tangente berechnen.
y=mx+b
Die Steigung m hast du, da du die erste Ableitung gebildet hast. Ebenso hast du die Werte für x und y, da der Punkt bekannt ist, in denen die Tangente den Graphen berührt.
Diese setzt du zusammen mit m in die Geradengleichung ein und berechnest b.

Nun setzt du Funktion und Geradengleichung gleich und löst nach x auf.

Ein Wert für x ist dort, wo die Tangente die Funktion berührt. Gibt es weitere Lösungen, schneidet oder tangiert die Gerade die Funktion erneut.

Gerade f1(x)=m*x+b und die zweite Funktion f2(x)

gleichgesetzt f1(x)=m*x+b=f2(x) nach x umstellen.

Wenn nur für x 1 Lösung herauskommt, dann nur einen Berührungsstelle.

Wenn für x 2 Lösungen herauskommt, dann existieren 2 Schnittstellen

Einfach Tangentengleichung und Funktionsgleichung gleich setzen und die Anzahl der Ergebnisse zählen.

Indem du die Schnittpunkte berechnest, also die Funktionsterme gleichsetzt.

Da bekommst du alle Schnitt- bzw. Berührpunkte raus.