Wie kann man mit dem Stütz-und Richtungsvektor die Lagebeziehung zweier Geraden im dreidimensionalen Raum definieren?
Hallo Forum, ich sitze nun schon etwas an einer Aufgabe welche vorgibt man solle mit den oben genannten Vektoren parlelle, sich scheidende, identische und Windschiefe Geraden definieren. Aber irgendwie komme ich nicht zu einem Ergebnis. Wäre dankbar für Hilfe. Danke im Voraus!
2 Antworten
Hallo,
wenn die Geraden identisch sind, kannst Du zum Beispiel den Stützpunkt von Gerade 1 in Gerade 2 einsetzen und bekommst ein gültiges Ergebnis.
Außerdem müssen die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sein - der Stützpunkt könnte ja theoretisch zufällig der Schnittpunkt zweier nicht paralleler und nicht windschiefer Geraden sein.
Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, ist aber der Stützpunkt von Gerade 1 nicht gleichzeitig ein Punkt auf Gerade 2, sind beide Geraden parallel, aber nicht identisch. Die lineare Abhängigkeit kannst Du auch über das Kreuzprodukt feststellen. Sind zwei Vektoren linear abhängig, ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.
Sind die Richtungsvektoren nicht linear abhängig, sind die Geraden also nicht parallel zueinander, mußt Du noch prüfen, ob sie sich schneiden. Dazu setzt Du beide Geraden gleich. Hat das Gleichungssystem eine Lösung, schneiden sich die Geraden, hat es keine, sind sie entweder parallel (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist der Nullvektor) oder sie sind windschief.
Gibt es unendlich viele Lösungen, sind die Geraden identisch.
Wenn Du übrigens den Abstand zweier windschiefer Geraden
g1: (a1/a2/a3)+r*(x1/x2/x3) und g2: (b1/b2/b3)+s*(y1/y2/y3) bestimmen möchtest, gibt es dafür eine nette Formel.
d=det |x1 y1 (b1-a1)|
|x2 y2 (b2-a2)|
|x3 y3 (b3-a3)|
geteilt durch |(x1/x2/x3)x(y1/y2/y3)|
Du bildest also eine 3x3-Matrix aus den Richtungsvektoren von g1 und g2, sowie der Differenz aus den Aufpunkten P(g2)-P(g1), bestimmst deren Determinante, was mit der Sarrusregel ganz fix geht und teilst das Ergebnis durch den Betrag des Kreuzproduktes der beiden Richtungsvektoren.
Das Ergebnis ist der Abstand zwischen den beiden Geraden, und zwar der kürzestmögliche.
Herzliche Grüße,
Willy
Geraden g: x=a1+r*m1 und h: x=a2+s*m2
"identisch" wenn a1=a2 und m1=m2
"parallel" wenn m1=m2
"windschief" Geraden schneiden sich nicht also g=h ist nicht lösbar ergibt einen "Widerspruch"
"schneiden sich" wenn g=h lösbar ist
aus dem Mathe-Formelbuch.Bedingung für "windschiefe sich nicht schneidende Geraden
Determinante D ungleich Null
mx1 my1 mz1
D= mx2 my2 mz2
(ax2-ax1) (ay2-ay1) (az2-az1)
Ist D=0 so schneiden sich die Geraden!
"identisch",bedeutet doch,es gibt keinen Unterschied oder doch?
"identisch" wenn a1=a2 und m1=m2
a1 muss nicht zwingend = a2 sein, m1 muss nicht = m2 sein...