Wie kann man einen 51 Grad Winkel konstruieren?
Hey ho, könnt ihr mir vielleicht simpel erklären, wie man an einer einfachen Gerade einen 51 oder 78 Grad Winkel oder so ähnlich konstruieren kann, bzw ob das überhaupt geht? Danke schon mal :)
6 Antworten
Man kann nicht alle Winkel konstruieren (wenn du die übliche Konstruktion mit Lineal und Zirkeln meinst). So kannst Du z. B. einen 20 Grad Winkel nicht konstruieren. Hier http://de.wikipedia.org/wiki/Winkel#Winkelkonstruktion gibt es ein paar Beispiele für Winkel, die man konstruieren kann.
Auf ähnliche Weise kann man alle Winkel erzeugen, die Vielfache von 3 sind. Andere ganzzahlige Winkel kann man nicht erzeugen - hätte man etwa einen Winkel, der nicht durch 3 aber etwa durch 7 teilbar wäre, dann könnte man durch geschicktes Addieren und Abziehen auch einen Winkel mit 1° konstruieren - und damit auch mit 20°, und da weiß man, dass es nicht geht.
Doch noch mal nachfrag:
In einen beliebig großen rechten Winkel wird ein ebenfalls beliebig großer Kreisbogen geschlagen. Vom Scheitelpunkt des rechten Winkels aus wird ein Fünfeck konstruiert, so daß eine Gerade im Winkel von 72° zur Grundlinie entsteht. Dieser Winkel wird konstruktiv durch 3, durch 3, durch 3, durch 2, durch 2 geteilt. Es ergibt sich eine Gerade mit einem Winkel von 1° zur Grundlinie. Diese schneidet den Kreisbogen. Der Abstand der Schnittpunkte des Kreisbogens mit dieser Gerade sowie der Grundlinie wird mit dem Zirkel abgegriffen und 51 mal am Kreisbogen ausgehend vom Schnittpunkt mit der Grundlinie angetragen. Es ergibt sich ein Punkt, welcher, mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels verbunden, 51° zur Grundlinie einschließt.
Keine Konstruktion?
Wie teilst Du konstruktiv einen Winkel durch 3? Das ist ja gerade der Witz - die Dreiteilung des WInkels ist im allgemeinen nicht möglich. Du kannst nur halbieren.
Okay, danke. Stimmt, die Archimedische Drittelung ist keine Konstruktion.
Da du zwei Winkel hast, überlegt man sich erstmal, ob man evt eine gleichartige Konstruktion für beide Winkel finden kann.
Bekanntlich kann man Winkel nicht beliebig durch Konstruktion teilen; Halbieren ist kein Problem, die Dreiteilung des Winkels ist iA aber nicht möglich (nur in Sonderfällen geht es).
Dagegen lassen sich beliebige ganzzahlige Vielfache eines Winkels leicht konstruieren. Versuchen wir es über die Vielfachen.
51 und 78 haben einen gemeinsamen Teiler, die 3. Es ist: 17·3=51 und 26·3=78.
Wenn man also einen Winkel von 3° konstruieren kann, so auch einen von 51° und von 78° (die konkrete Ausführung auf einem Blatt Papier wäre zwar mühsam, aber im Prinzip ginge dann die Konstruktion).
Aber kann man 3° konstruieren? 360/3=120, also hätte ein 120-Eck einen Zentriewinkel von 3°. Ein 15-Eck ist konstruierbar (eine Konstruktionsanleitung müsstest du dir per Googel suchen). Durch fortgesetztes Halbieren des Zentriwinkesl von 24° kommt man auf einen Winkel von 3° (Zentriewinkel des 120-Ecks). Aus diesem 3°-Winkel kann man dann einen Winkel von 51° bzw von 78° durch Vervielfachung konstruieren.
Naja, wirklich zeichnen will sowas wohl keiner :D aber es geht ja nur ums Prinzip.
Einfacher ist die Konstruktion von FataMorgana2010 (->Kommentar von FataMorgana2010 )
Liebe coccolina,
wiki sagt folgendes:
Folgerung (allgemeine Winkelkonstruktionen) [Bearbeiten]
Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen. Generell lassen sich alle ganzzahligen Winkel konstruieren, die ein Vielfaches von 3° sind.
Ich würde hier hinzusetzen, daß sich alle Winkel halbieren lassen (konstruktiv). Daher kann ich einen beliebigen Winkel theoretisch aus Vielfachen von 2 und 3 aufbauen. Ob dies noch unter Konstruieren fällt, weiß ich nicht genau. Aber wenn ich einen Winkel auf 6° herunterbreche und dann erst drittele und dann halbiere, komme ich auf ein Grad. Bzw. erhalte ich durch 36° : 3 = 12° : 3 = 4° : 2 : 2 = 1°
Was eventuell auch ging, wobei ich mir hier auch nicht sicher bin, ob es noch unter Konstruieren fällt, wäre, einen rechten Winkel zu konstruieren und rechnerisch den Radius eines Kreisbogens zu ermitteln, dessen Teilumfang im rechten Winkel 9 bzw. 90 cm ergibt. Dann ließe sich mit dem Zirkel 5,1 cm bzw. 51 cm abtragen, was deine gewünschten 51° wären. Dies wäre auch mit einer beliebigen Strecke möglich, welche gradzahlig ein Teiler der von dir gewünschten Winkelgröße wäre.
Wie gesagt, ob dies noch unter Konstruktion fällt?
LG andisazi
Danke für die Antwort! ich denke schon, dass das alles im entfernen sinne noch was mit konstruieren zu tun hat; das mit dem kreisbogen wäre mal Ne interessante überlegung, aber das haben wir ende 9. klasse gemacht, ich denk nicht, dass meine Schwester (7.) damit was anfangen kann ;)
Ne, mit Konstruieren hat das leider gar nix mehr zu tun. Auch im Entferntesten nicht.:-)
Du kannst einfach nicht dritteln, das ist das Problem. Du kannst einen Winkel im Allgemeinen NUR halbieren (und vierteln, achteln usw.). Dritteln geht eben nicht. Und Konstruktion heißt ausdrücklich, dass du keine gemessenene Maße benutzen kannst. Und erst recht kannst Du nicht sagen: "Ich trage zu einem gewünschten Umfang mal eben den passenden Radius ab" - das wäre nämlich (letztlich) die Quadratur des Kreises.
Auch hier noch mal danke und: Einfach dritteln ist leider keine Konstruktion mehr, da die Archimedische Methode der Winkeldrittelung nicht als konstruktiv gilt. Wusste ich nicht - aber dafür jetzt.
natürlich mit einem geodreieck oder winkelmesser. kann man auch mit geduld slebst machen.
hat man das nicht, kann man auch mit geduld und zirkel die winkel bestimmen
Klar geht das! Leg das geodreieck an einem Punkt an die gerade (0cm aufm geodreieck) dann einfach auf der inneren oder äußeren skala abtragen und noch einge Gerade ziehen!
"In der Geometrie versteht man unter einer Konstruktion, insbesondere mit Zirkel und Lineal die Entwicklung der exakten zeichnerischen Darstellung einer Figur auf der Grundlage vorgegebener Größen – in der Regel ist dabei die Beschränkung auf die Verwendung der „Euklidischen Werkzeuge“ Zirkel und Lineal gefordert. Letzteres hat keine Markierungen; man kann damit also nur Geraden zeichnen, aber keine Strecken abmessen." (http://de.wikipedia.org/wiki/Konstruktion_%28Mathematik%29#In_der_Geometrie)
Und gefragt war, wie man so einen Winkel konstruiert, also eben nicht mittels Geodreieck bzw Messung zeichnet. Siehe Antwort von FataMorgana2010.
Doch noch mal nachfrag:
In einen beliebig großen rechten Winkel wird ein ebenfalls beliebig großer Kreisbogen geschlagen. Vom Scheitelpunkt des rechten Winkels aus wird ein Fünfeck konstruiert, so daß eine Gerade im Winkel von 72° zur Grundlinie entsteht. Dieser Winkel wird konstruktiv durch 3, durch 3, durch 3, durch 2, durch 2 geteilt. Es ergibt sich eine Gerade mit einem Winkel von 1° zur Grundlinie. Diese schneidet den Kreisbogen. Der Abstand der Schnittpunkte des Kreisbogens mit dieser Gerade sowie der Grundlinie wird mit dem Zirkel abgegriffen und 51 mal am Kreisbogen ausgehend vom Schnittpunkt mit der Grundlinie angetragen. Es ergibt sich ein Punkt, welcher, mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels verbunden, 51° zur Grundlinie einschließt.
Keine Konstruktion?
Ein rechter Winkel kann nicht beliebig grôß sein ^^
51 und 78 kann man konstruieren. Für den 51°er braucht man einen 6°-Winkel. Den bekommt man, in dem man zunächst einen 108°-Winkel konstruiert (dazu macht man sich ein Fünfeck), den halbiert und dann gegen einen 60°-Winkel abträgt - bleiben 6° über. Die packt man dann zu einem 45°-Winkel dazu - dann hat man 51°. 60° bekommt man über ein gleichseitiges Dreieck-
78° ist einfacher: Wieder fünfeck für 108, dann 30 abziehen.