Wie kann man anhand einer Wertetabelle Terme für linerare, quadratische und exponetielle Vorgänge aufstellen?
Hey, meine Frage steht oben. Ich habe also eine Wertetabelle mit x und f(x) und muss einen Term aufstellen... Aber wie? LG
1 Antwort
Wenn ich deine Frage richtig verstanden habe, dann suchst du die Funktionsgleichung deiner dir unbekannen Funktion f(x).
Ich würde damit anfangen f(x) gegen x graphisch aufzutragen. Der dabei entstehende Funktionsverlauf ist meist charakteristisch, sodass man hieraus ein Funktionstyp vermuten kann.
Die darauf folgende Annahme eines Funktionstyps ist deshalb wichtig, weil hieraus erst einmal eine Rechenvorschrift resultiert, d.h. du erst dann auch eine Funktionsgleichung ermitteln kannst.
Jedes von dir bekannte Wertepaar, eingetragen in der Normalform eines dir angenommenen Funktionstypen, entspricht einer Gleichung. Dabei gibt der von dir angenommene Funktionstyp die Anzahl n der Unbekannten vor.
Grundsätzlich gilt in der Mathematik: Will man n Unbekannte ermitteln, so sind mindestens n zueinander unabhängige Gleichungen notwendig.
Somit wird das dabei entstandene Gleichungssystem erst bestimmt ("bestimmbar", d.h. auflösbar/ermittelbar) und man kann die Funktionsgleichung ermitteln/schauen, ob der von dir angenommene Funktionstyp der richtig war.
Beispiel:
Gegeben sind folgende Wertepaare/Punkte:
- A(1; 3)
- B(2; 6)
- C(3; 11)
Graphisches Auftragen lässt mich den Verlauf einer quadratischen Funktion vermuten. Die Normalform entspricht:
f(x) = ax² + bx + c
Hieraus resultieren automatisch 3 Unbekannte a, b und c, sodass ich drei Gleichungen aufstellen muss.
Es folgen mit den Wertepaaren:
a + b + c = 3
4a + 2b + c = 6
9a + 3b + c = 11
Ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und hoffentlich (nehme ich folgend erst einmal an) 3 zueinander unabhängigen Gleichungen.
Lösen des Gleichungssystems liefert:
a = 1
b = 0
c = 2
Womit die Funktionsgleichung folgt zu
f(x) = x² + 2
Probe ergibt:
f(1) = 1² + 2 = 1 + 2 = 3
f(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6
f(3) = 3² + 2 = 9 + 2 = 11
Und die Funktionsgleichung trägt damit alle Wertepaare ab. Damit ist bewiesen, dass die Funktionsgleichung als richtig angenommen werden muss.
Das wäre eine Möglichkeit wie man auf analoger Weise Funktionsgleichungen einer Wertetabelle ermittelt.