Wie Invertierbarkeit beweisen?
Wie beweist man das?
Wahrscheinlich irgendwas in Richtung Determinanten aber ich komme nicht drauf
2 Antworten
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AB invertierbar, g.d.w. det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A) = det(BA) ungleich 0, g.d.w. BA invertierbar.
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Super, ich hab gerade in den Vorlesungen herumgestöbert und bin auch die gleiche Idee gekommen. Gut zu wissen das ich den richtigen Gedanken habe. Hilfreichste Antwort bekommst du dann zeitnah ❤️
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Den Beweis mit Determinanten hat ChrisGE ja bereits geführt. Es geht aber auch ohne. Man zeigt AB invertierbar <=> A invertierbar und B invertierbar.
Sei AB invertierbar. Annahme: B ist nicht invertierbar, also Kern B <> {0}. Dann existiert ein x <> 0 € R^nxn so das Bx = 0, also auch ABx = 0 im Widerspruch zur invertierbarkeit von AB. Analog folgt A invertierbar (B ist ja bereits als invertierbar gezeigt, also wähle y € Kern(A) und x so das y = Bx), insgesamt also A und B invertierbar.
Ist umgekehrt A und B invertierbar und x <> 0, so folgt Bx <> 0 und ABx <> 0, insgesamt also Kern(AB) = {0} und damit AB invertierbar.
Nun folgt die Aussage durch einfaches Vertauschen von A und B.