Wie integriert man x^2 /(1 + x^2)?

x²/(1+x²) = (x²+1-1)/(x²+1) = (x²+1)/(x²+1) - 1/(1+x²) = 1 - 1/(1+x²)

hilft das weiter?

Die Grundregel ist:

Wenn der Grad des Zählerpolynoms größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist, ist der Integrand durch Polynomdivision zu zerlegen in ein Polynom und in eine gebrochenrationale Funktion, deren Zählerpolynom einen niedrigeren Grad hat als das Nennerpolynom.

In der Antwort von gfntom wird im Grunde Polynomdivision ausgeführt - allerdings in einer sehr cleveren Form. Schade nur, dass dabei im letzten Rechenschritt ein Vorzeichenfehler enthalten ist: Das Vorzeichen der gebrochenrationalen Funktion muss ein Minuszeichen sein.

Wahrscheinlich Partialbruchzerlegung.