Wie integriert man x^2 /(1 + x^2)?
3 Antworten
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
x²/(1+x²) = (x²+1-1)/(x²+1) = (x²+1)/(x²+1) - 1/(1+x²) = 1 - 1/(1+x²)
hilft das weiter?
Willy1729
bestätigt
Von
Experte
Die Grundregel ist:
Wenn der Grad des Zählerpolynoms größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist, ist der Integrand durch Polynomdivision zu zerlegen in ein Polynom und in eine gebrochenrationale Funktion, deren Zählerpolynom einen niedrigeren Grad hat als das Nennerpolynom.
In der Antwort von gfntom wird im Grunde Polynomdivision ausgeführt - allerdings in einer sehr cleveren Form. Schade nur, dass dabei im letzten Rechenschritt ein Vorzeichenfehler enthalten ist: Das Vorzeichen der gebrochenrationalen Funktion muss ein Minuszeichen sein.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik
Wahrscheinlich Partialbruchzerlegung.
Zur Kontrolle: f(x)=1-1/(1+x²).
F(x)=x-ln|1+x²|/(2x)+C