Wie integriert man (ln(x)) ^2?

Da es sich um eine Funktion in einer Funktion handelt würe ich die Kettenregel für Integration aka Integration durch Substitution vorschlagen.

Das wäre jedoch unnötig anstrengend.

Wir können auch "ln(x)² = 1 * ln(x)²" sagen und dann diesen Ausdruck Mittels partieller Integration integrieren (ich mache es einfach mal vor):

f(x) = ln(x)²
F(x) = [ln(x)²]* = [1 * ln(x)²]* | Partielle Integration: g'(x) := 1 und h(x) := ln(x)²
g'(x) := 1 => g(x) = x
h(x) := ln(x)² => h'(x) = 2 * ln(x) / x
F(x) = x * ln(x)² - [x * 2 * ln(x) / x]*
F(x) = x * ln(x)² - [2 * ln(x)]* | Faktorregel
F(x) = x * ln(x)² - 2 * [ln(x)]*
F(x) = x * ln(x)² - 2 * [1 * ln(x)]* | Partielle Integration: g'(x) := 1 und h(x) := ln(x)
g'(x) := 1 => g(x) = x
h(x) := ln(x) => h'(x) = 1 / x
F(x) = x * ln(x)² - 2 * (x * ln(x) - [1]*)
F(x) = x * ln(x)² - 2 * (x * ln(x) - x)
F(x) = x * ln(x)² - 2 * (x * (ln(x) - 1))
F(x) = x * ln(x)² - 2 * x * (ln(x) − 1)
F(x) = x * ln(x)² - 2 * x * ln(x) + 2 * x
F(x) = x * (ln(x)² - 2 * (ln(x) − 1))
Stammfunktion: F(x) = x * (ln(x)² - 2 * (ln(x) − 1))

Ich würde da mit partieller Integration anfangen...



Den Rest schaffst du dann selbst weiter, oder?

======Ergänzung======

Kompletter Lösungsvorschlag zum Vergleich: