Wie integriere ich diese Funktion f?
Hallo,
ich muss diese Funktion f
integrieren und den Funktionsterm als Summe aufschreiben, komme aber nicht weiter. Könnte mir jemand gegebenenfalls den Weg erklären? Und vielleicht auch was gemeint ist mit "Funktionsterm als Summe"?
Danke im voraus!
Liebe Grüße
5 Antworten
f(x) = (x^2 + 2x)/x^4 = x^2/x^4 + 2x/x^4 = 1/x^2 + 2/x^3 = x^-2 + 2x^-3
F(x) = (1/-1) * x^-1 + (1/-2) * 2 * x^-2 +C
F(x) = -1/x - 1/x^2 + C
Aufteilen in f(x)=1/x^2+2/x^3=x^-2+2x^-3. Nun verwendest du einfach die Potenzregel zum Integrieren.
Du kannst im Zähler x ausklammern, sodass oben steht: x*(x+2). Dann kannst du ein x wegkürzen, sodass unten nur noch x^3 steht und oben nur noch (x+2). Dann teilst du die Brüche auf in x/x^3 + 2/x^3. Bei dem ersten Bruch kannst du wieder ein x wegkürzen, sodass am Ende dasteht: 1/x^2 + 2/x^3. Dann stellst du so um, dass die keine Brüche mehr dastehen hast und kommst auf folgendes:
x^-2 + 2x^-3
Wenn du dann integrierst kommst du auf:
-x^-1 - x^-2
Das kannst du dann umformen und hast als Stammfunktion dann folgendes dastehen:
-1/x - 1/x^2
siehe Mathe-Formelbuch,Potenzgesetze a^r/a^s=a^(r-s)
f(x)=(x²+2*x)/x⁴=x^(2-4)+2*x^(1-4)=x^(-2)+2*x^(-3)
F(x)=Int.(x^(-2)*dx)+2*int.(x^(-3)*dx)
F(x)=x^(-2+1)*1/(-2+1)+2*x^(-3+1)*1/(-3+1)+C
F(x)=-1/x+2/(-2)*1/x²+C
F(x)=-1/x-1/x²+C
Probe: Mit xu=0,5 und xo=2 ergibt mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
A=5,25 FE (Flächeneinheiten)
A=obere Grenze minus untere Grenze
A=(-1/2-1/2²) - (-1/0,5-1/0,5²)=-0,75-(-6)=-0,75- (-6)=-0,75+6
A=5,25 FE
Hey,
du musst die Funktion erst als Summe aufschreiben, da man Brüche nicht integrieren kann (jedenfalls lernt man das nicht in der Schule).
Dazu musst du den Bruch erst aufteilen, also den Nenner und den Zähler getrennt aufschreiben.
Du hast dann f(x) = (x^2 + 2x) * 1/x^4 stehen. (Tipp: 1/x^4 ist das selbe wie x^-4 )
Das musst du nur noch ausmultiplizieren und dann erhältst du den Term als Summe. Also f(x) = x^-2 + 2x^-3
Jetzt integrierst du ganz einfach wie gewohnt.
Zur Kontrolle kann ich dir auch das Ergebnis sagen
Guten Abend mayafrn,
Am besten wäre es sich einfach die App Phanthomath herunterzuladen dann scannen, und die Schritte ansehen um daraus zu lernen.
Da es dir dort sehr hilfreich und gut erklärt wird.
MFG
kannst du vielleicht kurz erklären wie du auf f(x)=1/x^2 + 2/x^3 gekommen bist?