Wie berechne ich eine Gerade, die die Parabel halbiert?
Gegeben ist die Funktion f(x)=3-3x^2. Ich habe bereits die Nustellen berechnet sowie die Stammfunktion gebildet. Mithilfe dieser habe ich dann durch Integrieren einen Flächeninhalt von 4 erhalten. Nun wird diese Parabel aber von einer horizontalen Geraden halbiert und wir müssen herausfinden, wo genau diese liegt. Kann mir bitte jemand erklären, wie das geht? Danke im Voraus!
3 Antworten
f(x) = 3 - 3 * x ^ 2
g(x) = b
h(x) = f(x) - g(x)
h(x) = 3 - b - 3 * x ^ 2
H(x) = (3 - b) * x - x ^ 3
3 - 3 * x ^ 2 = b
x ^ 2 = (1 - (1 / 3) * b)
x _ 1 = - √(1 - (1 / 3) * b)
x _ 2 = + √(1 - (1 / 3) * b)
+ √(1 - (1 / 3) * b)
∫ (3 - b - 3 * x ^ 2) * dx = 2
- √(1 - (1 / 3) * b)
((3 - b) * (√(1 - (1 / 3) * b)) - (√(1 - (1 / 3) * b)) ^ 3) - ((3 - b) * (- √(1 - (1 / 3) * b)) - (- √(1 - (1 / 3) * b)) ^ 3) = 2
Das mit einem programmierbaren Taschenrechner, einem CAS-System oder Wolfram Alpha ausrechnen lassen -->
b = 3 - 3 / (2 ^ (2 / 3))
b ≈ 1.1101184251576903
g(x) = 3 - 3 / (2 ^ (2 / 3))
Das ist die horizontale Gerade.
Wenn es da noch einen einfacheren Weg gibt g(x) auszurechnen, dann kenne ich ihn entweder nicht, oder er fällt mir nicht ein.
Die Parabel wird halbiert? Inwiefern? Meinst du den Flächeninhalt zwischen Parabel und x-Achse?
Dann musst du mit dem Integral ran:
Die Fläche zwischen den beiden Kurven soll gleich der Fläche unter der Gerade in dem entsprechenden Bereich sein.
Dazu berechnen wir erstmal die Nullstellen der Parabel:
f(x) = 3 - 3x² = 0 ⇔ x = ±1
Die Flächen zwischen den zwei Kurven ist gleich der Fläche unter der Parabel minus der unter der Gerade.
Die Gerade ist eine konstante Funktion und hat somit die Form g(x) = a.
Stammfunktionen bilden:
F(x) = 3x - x³
G(x) = ax
Und jetzt noch die nötigen Gleichungen aufstellen und auflösen, dann erhältst du den gesuchten Wert für a.
LG Willibergi
Bist du dir sicher, dass nicht eher die Fläche deines Integrals halbiert werden soll?
Okay, wenn du mir noch deine Integrationsgrenzen angibst, dann kann ich dir helfen :D Edit: Willibergi hat es schon gut gemacht.
Ohh super, vielen Dank!! Doch was genau ist mit g(x) und h(x) gemeint?