Wie geht man bei der Aufgabe vor? Ansatz?
2 Antworten
Die Kante AB des Dreiecks: A + c*(A-B) mit der Ebenengleichung gleichsetzen:
0 + 1*a -1*b = 1 + c*1
0 + 3*a +2*b = 2 + c*1
1 + 1*a +5*b = 0 + c*-3
Lösung a = 1/2, b = 0, c = -1/2
Diese Lösung ergibt den Schnittpunkt S1 = (1/2, 3/2, 3/2)
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Die Kante BC des Dreiecks: B + c*(B-C) mit der Ebenengleichung gleichsetzen:
0 + 1*a -1*b = 0 + c*1
0 + 3*a +2*b = 1 + c*2
1 + 1*a +5*b = 3 + c*3
Lösung a = 0, b = 1/4, c = -1/4
Diese Lösung ergibt den Schnittpunkt S2 = ( -1/4, 1/2, -9/4)
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Die Kante AC des Dreiecks: A + c*(A-C) mit der Ebenengleichung gleichsetzen:
0 + 1*a -1*b = 1 + c*2
0 + 3*a +2*b = 2 + c*3
1 + 1*a +5*b = 0 + c*0
Lösung a = 3/2, b = -1/2, c = 1/2
Diese Lösung ergibt den Schnittpunkt S3 = ( 2, 7/2, 0)
Der Schnittpunkt S3 liegt ausserhalb des Dreiecks, weil die x-Koordinate im Intervall [-1,+1] liegen muss (maximale Ausdehung der Ax,Bx,Cx).
Es geht also um den Abstand von S1 und S2. Der Abstand S1-S2 beträgt 1.46 Einheiten (Abstandsformel anwenden)
(A,B,C liegen nicht auf der Ebene, S1,S2,S3 liegen auf der Ebene.)
Du hast recht, ich habe es korrigiert. Gibt es eine Lösung auf Basis der Schnittgeraden? Meiner Ansicht nach ist die noch komplizierter, weil es um die Länge der Schnittkante geht.
Einfach die Ebenengleichung in die Koordinatenform umwandeln, dann nacheinander die Geraden durch AB, durch AC und durch BC in die Ebenengleichung einsetzen und nach dem Parameter der jeweiligen Geradengleichung auflösen. So bekommt man drei Schnittpunkte, bei denen man leicht sehen kann, ob sie auf den Dreiecksseiten liegen oder nicht.
Bei den beiden Schnittpunkte, die auf den Dreiecksseiten liegen, den Abstand berechnen. Eine Gleichung der Schnittgeraden braucht man dazu nicht; sollte auch diese gesucht sein, einfach die Gleichung der Geraden durch die beiden Schnittpunkte bestimmen.
Du müßtest die Schnittgerade mit den Geraden durch AB, AC und BC gleichsetzen, dann bei den beiden Treffern den Abstand bestimmen.
Geht aber auch ohne den Umweg über die Schnittgeraden.
mit den 3 Punkten des Dreiecks kannst du eine zweite Ebene in Parameterform aufstellen
bei beiden Ebenen die Parameter in die Koordinatenform umrechnen
dann das LGS lösen, man erhält eine Parameterlösung, (die Schnittgerade der beiden Ebenen)
Im Grunde ist es nicht schwierig zu sehen, ob die Schnittpunkte im Bereich des Dreiecks liegen. Man muß nur sehen, ob ihre Koordinaten zwischen die jeweiligen Eckpunkte passen. S3 (2|.7/2|0), der auf der Geraden durch A (1|2|0) und C (-1|-1|0) liegt, ist außerhalb des Dreiecks, weil die x-Koordinate 2 nicht im Intervall [-1;1] liegt. Auch die y-Koordinate 7/2 liegt nicht in [-1;2]. Nur die z-Koordinate paßt - aber auf die kommt es ja nicht mehr an. Außerhalb ist nun mal außerhalb.