Wie geht diese Aufgabe?
Danke im Vorraus!
2 Antworten
Soll man prüfen, wie zwei Geraden zueinander stehen (parallel, identisch, schneidend, windschief), prüft man zuerst die beiden Richtungsvektoren auf Kollinearität, d. h. ob sie Vielfache voneinander sind. Bei a) schreibst Du also in die Klammer hinter das t den Richtungsvektor der Geraden h. Wie man recht leicht erkennt, kommt man auf die Komponenten (x, y und z) des linken Richtungsvektor, indem man die des rechten jeweils mit -4 multipliziert, d. h. diese Gleichung ist eindeutig lösbar, und damit sind die beiden Richtungsvektoren kollinear zueinander, somit sind die Geraden entweder identisch oder parallel zueinander.
Als nächstes setzt man den Ortsvektor der einen Geraden mit der "gesamten" anderen Geraden gleich - hier im Beispiel wurde der Ortsvektor von g mit der Geraden h gleichgesetzt, um zu prüfen, ob dieser eine Punkt auch auf der anderen Geraden liegt. Ist diese Gleichung nicht lösbar, d. h. es gibt kein r das für alle drei Komponenten gleich ist, wie in diesem Fall, dann sind die Geraden parallel; ansonsten wären sie identisch.
Bei b) hast Du den Richtungsvektor von g aus Aufgabe a) eingesetzt, es muss natürlich (0 -2 3) heißen (Richtungsvektor von g aus Aufgabe b) ). Hier gibt es keine Lösung für t, d. h. diese Richtungsvektoren sind nicht kollinear, d. h. dass die Geraden sich entweder in einem Punkt schneiden oder windschief zueinander liegen.
Um das herauszufinden werden nun beide Geraden "komplett" gleichgesetzt, und das so entstende Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den beiden Unbekannten r und s gelöst. Und zwar indem Du mit 2 der 3 Gleichungen r und s berechnest und diese Lösungen in übrige Gleichung einsetzt und diese auf Richtigkeit prüfst. Kommt eine wahre Aussage raus, gibt es einen Schnittpunkt, bei einer falschen Aussage sind die Geraden windschief. (Den Schnittpunkt erhältst Du, indem Du einfach r in die Gerade g oder s in die Gerade h einsetzt - zur Sicherheit würde ich mit beiden Geraden den Schnittpunkt ermitteln; es muss natürlich derselbe rauskommen, sonst stimmt was nicht...).
eine frage noch: welche zahlen kommen bei b) in die erste klammer rein also vof dem gleichheitszeichen und dem t?
Naja, komplett verstanden hast Du es dann wohl doch nicht. Und ich habe es auch in meiner Antwort schon beschrieben: zuerst werden die Richtungsvektoren verglichen, d. h. vorne kommt der Richtungsvektor von g rein, und zwar der aus Aufgabe b), nicht wie bei Dir notiert, der aus Aufgabe a)! Oder hast Du einfach nur die Zahlen vom ersten Schritt links kopiert...?
danke!!! Sehr gut formuliert und habs jetzt auch vollkommen verstanden dankee
In Aufgabe a) ist kann man den ersten Richtungsvektor mit t = -1/4 multplizieren und erhält dann den zweiten. Die Richtungsvektoren sind also parallel.
Da es kein r gibt, was die zweite Gleichung erfüllt, sind die Geraden zwar parallel aber nicht identisch.
Wie Du in b) auf (-2 | 3 | 2) kommst, verstehe ich nicht. Der Richtungsvektor der ersten Geraden ist (-2 | 1 | -1). Da es kein passendes t gibt, sind die Geraden nicht parallel.
Da die untere Gleichung kein Lösung hat, haben die Geraden keinen Punkt gemeinsam. Damit sind sie windschief.
(-2 | 3 | 2) = t * (0,5 | -0,75 | -0,5)
Dir Zahlen im rechten Vektor sind 1/4 der Zahlen im linken Vektor, mit umgekehrten Vorzeichen.
Wenn man das nicht erkennt, muss man jede der drei Komponenten des rechten Vektors durch die entsprechende Komponente des linken Vektors teilen. Da kommt für t überall -0,25 bzw. -1/4 raus.
Bei Aufgabe b) ist der Richtungsvektor von g aber (-2 | 1 | -1).