Wie gehe ich bei einer DGL erster Ordnung vor die...?

sowohl einen konstanten Koeffizienten , als auch einen koeffizienten haben der von x abhängt.
also zb
$\left(2y^2+3x\right)dx+2xy\ dy\ =\ 0\$ ich habe schon überprüft ob es eine exakte DGL ist, mit der Integrabilitätsbed. py =qx
es ist keine , und mir fiel auch kein weg ein sie zu einer zu erweitern.
was ich bisher gemacht hab ist sie umzuformen zu

$y'=-\frac{\left(2y^2+3x\right)}{2xy}$ hab dann den bruch vereinfacht mit

$y'=-\frac{y}{x}-\frac{3}{2y}$ dann Substituiert $z\ =\ \frac{y}{x}$ umgeformt und abgeleitet, (benutze das (x) um Produktregel nicht zu vergessen)

$y\ =\ z\left(x\right)\cdot x$ $y'=z'\left(x\right)\cdot x+z\left(x\right)$ dann in die DGL eingesetzt

$z'\left(x\right)\cdot x\ =\ -2z\left(x\right)-\frac{3}{2z\left(x\right)\cdot x}$ und ab hier komm ich nicht weiter
Was soll nun passieren? ist das überhaupt der richtige ansatz? obwohl es eine quadratische DGL ist ?
ich komm durcheinander mit den DGL Lösungsverfahren :(

Answer 1

[eterneladam]

Man kann y = z^(1/2) substituieren, die Idee kann man haben, weil y nach Ableitung in den Nenner kommt.

Dann liest sich das als (2z+3x) dx +x dz = 0 etwas einfacher.

Die homogene Gleichung 2z dx +x dz = 0 hat dann die Lösung c/x^2.

Nun halt noch die inhomogene finden und die Wurzel ziehen.

Comments

[Niinbo]

ich hab direkt nach stellen der frage gemerkt, dass es eine Bernoulli Gleichung ist... also z = y^1-a mit a = 2 und ehrlichgesagt die inhomogene lösung zu finden ist für mich immer irgendwie der schwierige part...