Ist die Ableitung der Substitution y'=u nicht einfach y''=u'?
Hallo, ich sitze schon länger an einer DGL, und habe mich dazu entschieden, mal den Rechenweg von einem Rechner anzuschauen. Nun hab ich aber mehr Fragen...
Im Bild sieht man den Schritt, den ich nicht ganz verstehe. Wieso steht dort y''=u u' und nicht einfach y''=u', wie ich es eher erwartet hätte? Wieso könnte es beim Rechner so stehen? Was übersehe ich?
Vielen Dank im Vorraus für eure Antworten
2 Antworten
Ist die Ableitung der Substitution y'=u nicht einfach y''=u'?
Kommt darauf an nach was du ableitest und mit was du ableitest. So gelten viele Regel aus der gewöhnlichen Infinitesimalrechnung nicht mehr bzw. in komplexerer Weise in der fraktionellen / fraktionallen Infinitesimalrechnung (das umfasst z.B. die Frage, was die 0,5-te Ableitung von x ist).
Ich sehe, dass das eine "simple" Aufgabe ist (auf dem Niveau Studium oder asozialer Oberstufe), daher sollte das was du sagst richtig sein.
Wieso könnte es beim Rechner so stehen? Was übersehe ich?
Du übersiehst wahrscheinlich gar nichts. Das ist in der Studiums-Mathematik falsch, was da steht, denn " y' = u => y'' = u' ", was du auch leicht durch den Fundamentalsatz der Analysis beweisen kannst (das was ich dir immer empfehlen würde, wenn du deine Rechnung für ein ODE oder andere Infinitesimalrechnungen überprüfen willst)!
Wolfram|Alpha selbst, sagt dass das nicht stimmt, denn es findet folgende Vereinfachung:
mit Hyperbolicus/Hyperbel/Arcus/Area-Funktionen
als png:
als LaTeX:
\begin{align*}
a \cdot y''\left( x \right) &= \sqrt{1 + \left( y'\left( x \right) \right)^{2}}\\
a \cdot \frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}x^{2}} y\left( x \right) &= \sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) \right)^{2}} \quad\mid\quad \div \sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) \right)^{2}}\\
\frac{a \cdot \frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}x^{2}} y\left( x \right)}{\sqrt{1 + \left( \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) \right)^{2}}} &= 1 \quad\mid\quad u\left( x \right) := \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) \Rightarrow \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} u\left( x \right) = \frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}x^{2}} y\left( x \right)\\
\frac{a \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} u\left( x \right)}{\sqrt{1 + \left( u\left( x \right) \right)^{2}}} &= 1 \quad\mid\quad \int_{}^{} \operatorname{d}x\\
\int_{}^{} \frac{a \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} u\left( x \right)}{\sqrt{1 + \left( u\left( x \right) \right)^{2}}} \operatorname{d}x &= \int_{}^{} 1 \operatorname{d}x\\
a \cdot \int_{}^{} \frac{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} u\left( x \right)}{\sqrt{1 + \left( u\left( x \right) \right)^{2}}} \operatorname{d}x &= x + c_{1}\\
a \cdot \operatorname{arcsinh}\left( u\left( x \right) \right) &= x + c_{1} \quad\mid\quad \div a\\
\operatorname{arcsinh}\left( u\left( x \right) \right) &= \frac{x + c_{1}}{a} \quad\mid\quad \sinh\left( \right)\\
u\left( x \right) &= \sinh\left( \frac{x + c_{1}}{a} \right) \quad\mid\quad u\left( x \right) := \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right)\\
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) &= \sinh\left( \frac{x + c_{1}}{a} \right) \quad\mid\quad \int_{}^{} \operatorname{d}x\\
\int_{}^{} \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) \operatorname{d}x &= \int_{}^{} \sinh\left( \frac{x + c_{1}}{a} \right) \operatorname{d}x\\
y\left( x \right) &= a \cdot \cosh\left( \frac{x + c_{1}}{a} \right) + c_{2}\\
y\left( x \right) &= a \cdot \cosh\left( \frac{x}{a} + c_{1} \right) + c_{2}\\
\end{align*}
wobei die beiden c's belibige reelle Konstanten sind.
Man kann arcsinh auch als arsinh oder sinh^{-1}, was du auch öfters findest wenn du in ältere Bücher schaust.
ohne Hyperbolicus/Hyperbel/Arcus/Area-Funktionen
Würde ich dir eigentlich nicht empfehlen, da das ordentlich Arbeit macht die umzustellen.
als png:
als LaTeX:
\begin{align*}
\int_{}^{} \frac{a \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} u\left( x \right)}{\sqrt{1 + \left( u\left( x \right) \right)^{2}}} \operatorname{d}x &= \int_{}^{} 1 \operatorname{d}x\\
a \cdot \int_{}^{} \frac{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} u\left( x \right)}{\sqrt{1 + \left( u\left( x \right) \right)^{2}}} \operatorname{d}x &= x + c_{1}\\
a \cdot \ln\left( u\left( x \right) + \sqrt{\left( u\left( x \right) \right)^{2} + 1} \right) &= x + c_{1} \quad\mid\quad \div a\\
\ln\left( u\left( x \right) + \sqrt{\left( u\left( x \right) \right)^{2} + 1}\right) &= \frac{x + c_{1}}{a} \quad\mid\quad \text{nach u lösen}\\
u\left( x \right) &= \frac{e^{\frac{x + c_{1}}{a}} - e^{-\frac{x + c_{1}}{a}}}{2} \quad\mid\quad u\left( x \right) := \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right)\\
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) &= \frac{e^{\frac{x + c_{1}}{a}} - e^{-\frac{x + c_{1}}{a}}}{2} \quad\mid\quad \int \operatorname{d}x\\
\int \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} y\left( x \right) \operatorname{d}x &= \int \frac{e^{\frac{x + c_{1}}{a}} - e^{-\frac{x + c_{1}}{a}}}{2} \operatorname{d}x\\
y\left( x \right) &= \frac{e^{\frac{x + c_{1}}{a}} + e^{-\frac{x + c_{1}}{a}}}{2} + c_{2}\\
y\left( x \right) &= \frac{e^{\frac{x}{a} + c_{1}} + e^{-\frac{x}{a} - c_{1}}}{2} + c_{2}\\
\end{align*}
Innere Ableitung mal äußere Ableitung.
Tut mir Leid, ich verstehe das leider nicht zu 100%. Ich nehme mal an, hier ist irgendwo eine Verkettung versteckt... Was wäre denn die äußere bzw. innere Funktion?