Wie formuliere ich einen Beweis richtig?
Ich habe das Beispiel: Ich habe eine Betragsfunktion |.|: Welche von den Reelen Zahlen in die Reelen Zahlen abbildet. R->R. und die Definition von der Betragsfunktion ist gegeben: |x| = {x, falls x>=0 und -x, sonst. Nun muss ich zeigen das für alle x,y Element der reelen Zahlen gilt
a) |x| = 0 <=> x = 0
b)|x+y| <= |x| + |y|
c) ||x|-|y|| <= |x-y|
Mit a habe ich schon angefangen: Mein Beweis lautet so:
Also bei einer Äquivalenz muss ich einmal die Implikation von |x| = 0 => x= 0 und von x=0 => |x| = 0 beweisen. Ich nenne es jeweils 1 und 2.
Nun starte ich mit 1:
Ich nehme an das der erste Teil der Implikation wahr ist und muss beweisen das der 2te Zeil dadurch auch stimmt.
Also wenn |x| = 0, folgt daraus durch die Definition der Betragsfunktion weil 0 <= 0 ist, das x = 0 zurück abgebildet wird. das wäre mein Beweis für 1.
Bei 2 geht es genauso , da wird angenommen, das x = 0 ist. Daraus folgt lt. Defintion das |x| = 0 ist. Das wars eigentlich mmn. Nun stehe ich bei b und c an und hab keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll um das richtig zu beweisen.
Bzw. wie findet ihr meinen Beweis für a?
LG
1 Antwort
Die Hin-Richtung von a) ist nicht ganz sauber. Wir gehen davon aus, dass |x| = 0 gilt, soweit klar. Aber dann folgerst du irgendwie, dass weil |0| = 0 gilt, x = 0 sein muss. Das ist aber kein logischer Schluss:
Wenn |x| = 1 ist, könnte ich ja genauso argumentieren, dass x = 1 sein muss, weil 1>=0 und damit |1| = 1 gilt. Aber de facto ist auch |-1| = 1, d.h. mein Argument hinkt irgendwo.
Am besten machst du eine Fallunterscheidung:
Wenn x>=0 ist, folgt nach Definition der Betragsfunktion:
0 = |x| = x.
Wenn x < 0 ist, folgt nach Definition der Betragsfunktion:
0 = |x| = -x > 0. Ein Widerspruch.
Für b) würde ich zeigen, dass immer |x| >= x und |x| >= -x gelten (dasselbe gilt natürlich auch für y). Dann kannst du eine Fallunterscheidung nach (x + y) >= 0 bzw. (x + y) < 0 machen.
c) lässt sich durch clevere Anwendung der Ungleichung aus b) herleiten.