Was sagt diese Definition über die Dezimaldarstellung aus? (reele Zahlen / Unimathematik)?
1 Antwort
d_0 ist die Zahl vor dem Komma, welche auch mehrstellig sein kann.
d_1, d_2, d_3,... sind die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ...
p_n ist eben das 10^n fache, sodass das eine ganze Zahl ist...
Allerdings irritiert mich, warum man da ein Maximum braucht. Im Zusammenhang mit d_0, welches die größte ganze Zahl kleiner oder gleich dem gegebenen Dezimalbruch ist, würde es Sinn machen.
Ok. Dann spielen wir das mal mit einer bekannten Zahl durch.
23,4568997345
Und mich interessieren jetzt die ersten 5 Nachkommastellen.
Jetzt berechne ich mein p_5:
p_5 = max { m aus N | m kleinergleich 23,4568997345 * 10^5}
= max {m aus N | m kleinergleich 2345689,97345}
= max {1,....,2345689} = 2345689.
Also ist die gesuchte Dezimaldarstellung mit 5 Stellen hinter dem Komma:
2345689/10^5 = 23,45689
Hier ist das natürlich trivial. Aber wie gesagt: Wenn ich z. B. die ersten Hundert Stellen von Pi haben will, was mache ich dann? Umgangssprachlich sage ich: "ich schneide die danach ab", aber was heißt das mathematisch? "Ich nehme die Zahl, die von unten am dichtesten dran kommt"? Das ist genau das, was da steht, ich schaue mir alle Zahlen an, die kleiner sind (alles entsprechend verschoben) und davon nehme ich die größte. Mehr ist das nicht.
Ah, jetzt sehe ich dein Problem mit den x'en. Das ist in der Tat.. komisch.
Nochmal zu den x en: Ja, doof aufgeschrieben. Da hätte statt des = ein "approx." stehen sollen, dann wäre das verständlicher gewesen.
Das ist schon klar. Das Problem ist nur in der Zeile mit dem max soll x die Originalzahl sein und drüber ist x gleich der Approximation.
Ja, auch gerade gesehen. Am besten wäre x ≈ d0.d1 d2 ...dn gewesen.
Man nimmt das Maximum, um die Existenz einer solchen Zahl sicherzustellen. Ich kenne ja die Nachkommastellen noch nicht, ich habe auch im allgemeinen auch keine einfach Berechungsmethode (wie z. B. bei den rationalen Zahlen). Ich muss sie mir konstruieren. Und das mache ich eben, in dem ich für jede Stelle eine endliche Menge natürlicher Zahlen konstruiere, die nach oben beschränkt ist - also ein Maximum enthält.
Korrektur: Nicht für jede Stelle, sondern für die gesamte Näherung.
Nehmen wir mal sowas wie e * pi. Ich weiß nicht, wie die ersten Hundert Stellen dieser Zahl aussehen. Woher weiß ich, dass es so eine Darstellung wie in der Beschreibung gibt? Wie bekomme ich das hin, dass das eindeutig definiert ist? Und dass das für die nächsten 1000 Stellen auch geht? Dazu brauche ich das.
Wenn x die Originalzahl sein soll, die approximiert, dann macht das Sinn. Aber nach der Zeile drüber ist x die Approximation.
Also wenn es "Dezimaldarstsllung einer positiven reellen Zahl x" hieße und das x in der übernächsten Zeile nicht auftauchen würde, dann würde es für mich Sinn machen.