Wie finde ich beim folgendem Viereck Punkt C heraus (Konstruieren von Vierecken)?
Hallo, ich mache gerade Mathe und bin bei dieser Aufgabe: a=6cm, α= 45°, b=3cm, (Gamma)= 80°, d=5cm und ich weiß einfach nicht wie man Punkt C rausfindet. Falls mir dort jemand möglichst schnell antworten könnte wäre das super! Achja und wenn wir schon dabei sind, wie Begründet man mit Hilfe der Kongruenzsätze für Dreiecke, dass ein Viereck eindeutig ist?
Danke schonmal im Vorraus!
6 Antworten
Hallo,
Du fängst mit der Strecke AB=6 cm an. In Punkt A legst Du einen Winkel von 45° an. A ist der Scheitelpunkt, der erste Schenkel ist die Seite a, der zweite die Seite d mit 5 cm, deren Enden die Punkte A und D sind.
Nun hast Du bereits das Dreieck ABD, nachdem Du die Punkte B und D verbunden hast. Wie kommen wir an Punkt C? Du kennst die Länge der Seite b, also weißt Du, wie weit Punkt C von Punkt B entfernt ist - nämlich 3 cm.
Um diese 3 cm verlängerst Du die Strecke AB. Das Ende dieser 9 cm langen Strecke nennst Du C'. C' ist der Scheitel des Winkels Gamma' (80°).
Ein Schenkel liegt auf der Strecke AC', der andere geht im Winkel von 80° von C' ab.
Nun zeichnest Du um den Punkt B einen Kreis mit einem Radius von 3 cm. Irgendwo auf diesem Kreis (ein Halbkreis reicht auch) liegt Punkt C.
Zusätzlich zeichnest Du um den Punkt B einen Kreis, dessen Radius die Strecke BD ist (eine Diagonale des gesuchten Vierecks). Du hast nun zwei konzentrische Kreis um B: einen mit einem Radius von 3 cm, den anderen mit einem Radius, der der Strecke BD entspricht.
Dieser größere Kreis schneidet nun den freien Schenkel des Winkels Gamma'. Diesen Schnittpunkt nennst Du E. (E wie egal). Wenn Du nun B und E verbindest, hast Du ein neues Dreieck BC'E, das kongruent ist mit dem Dreieck BCD, das zusammen mit dem Dreieck ABD das gesuchte Viereck ergibt. Die Seite C'E ist genauso lang wie die Seite DC - und genau das nutzen wir aus. Du zeichnest nun einen Kreis um D mit dem Radius C'E. Wo sich dieser neue Kreis mit dem kleineren Kreis um B (Radius=3 cm)
schneidet, ist der gesuchte Punkt C.
Nun noch C und D verbinden - und das Viereck ist fertig.
Durch diese Art der Konstruktion hast Du ein Viereck aus zwei Dreiecken konstruiert, von dem das eine (ABD) direkt zu konstruieren war; das andere (BCD) nur mit Hilfe eine kongruenten Dreiecks BC'E gefunden werden konnte, das dann durch eine Drehung um Punkt B auf das gesuchte Dreieck abgebildet wurde. Dieses Hilfsdreieck ist zu dem gesuchten kongruent, weil die Seite BC' mit 3 cm genauso lang ist wie die gesuchte Seite BC (das ist durch den Kreis um B mit dem Radius von 3 cm gewährleistet).
Die Seite BE ist genauso lang wie die gegebene Seite BD (auf dem Kreis um B mit dem größeren Radius BD liegt der Punkt E). Da wir mit dem Winkel Gamma', der dem gesuchten Winkel Gamma entspricht, den Schenkel bei C' haben, erhalten wir Punkt E als Schnittpunkt zwischen diesem Schenkel und dem größeren Kreis um B. Die Strecke C'E entspricht dabei der Strecke DC.
Dadurch hast Du die Angaben, die Du für den Punkt C brauchst: Er muß auf dem kleineren Kreis um B liegen (Wir wußten ja, daß die Seite b (Strecke BC) 3 cm lang sein muß - und wir wissen, daß er von D genauso weit entfernt sein muß wie E von C'. Deshalb der Kreis um D mit dem Radius C'E.
Der Schnittpunkt dieser beiden Kreise ist C.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo, Soso, falsch nicht. Die Planfigur stimmt. Die Schwierigkeit bei dieser Konstruktion besteht nur darin, daß der Winkel Gamma erst mal in der Luft hängt, weil Du weder weißt, wie lang die Seite c ist, noch, wie groß der Winkel Beta. Deshalb das Hilfsdreieck, das zu dem gesuchten kongruent ist. Punkt E hätte ich lieber D' nennen sollen, dann wäre die Sache noch klarer: C' wird durch eine Drehung auf C abgebildet, D' auf D. Dann wird auch klar, wo die sich entsprechenden Strecken liegen. Du könntest das Dreieck BC'D' auch nach b, Gamma' und der Seite BD, die die beiden Dreiecke geeinsam haben, konstruieren, ausschneiden und mit der Seite BD' an BD anlegen - aber das entspricht nicht einer gültigen Konstruktion, bei der nur Lineal und Zirkel erlaubt sind, der Winkelmesser aber auch geduldet wird. Ich habe lange über diese Aufgabe nachgedacht und nirgends nachgeschlagen - eine andere Methode, dieses Viereck sauber zu konstruieren, ist mir nicht eingefallen. Es gibt aber sicher noch andere Möglichkeiten; diese hier funktioniert jedenfalls.
Auf rechnerischem Wege ist C über den Kosinussatz für die Seite BD und anschließend über den Sinussatz zu lösen, um die fehlenden Winkel bzw. Seiten zu erhalten.
Alles Liebe,
Willy
Ich hätte auch - und das kam mir als erstes in den Sinn - genau damit gearbeitet :)
hallo willi.
nett das du ihm hilfst aber ich habe es auch schon versucht. leider musst du hier wirklich von null anfangen. wenn du etwas erklärst kommen auf deine erklärung wieder nee, grundlegendere fragen. dennoch ist deine erklärung sehr schön ausführlich.
LG dadan ;)
Naja Null jetzt auch nicht, bin Gymnasium 8. Klasse. Bin gerade nur bischen verwirrt und auch im Stress. Und manchmal auch einfach nicht ganz sicher, deswegen frage ich oftmals lieber 2 mal:)
sorry. aber für das was ich versucht habe dir kleinschrittig zu erklären und was dann für geegnfragen kamen kann ich das mit 8. klasse ehrlich nicht glauben. wie gesagt ich kann dir nur den tipp geben die ferien zu nutzen und täglich zu lernen
Ist mir egal ob du es glaubst oder nicht. Bin Klasse 8 auf einem Gymnasium und habe in Mathe eine 2,3 im Zeugnis. Warum sollte ich dann die Ferien nutzen etwas nachzuholen? Ich komme gut weiter in der Schule und mein einziges Problem ist Latein und Chemie. Und außerdem bist du nicht meine Mutter oder mein Lehrer.
Danke dir! Sry habe gerade noch etwas anderes machen müssen. Habe es konstruiert und ist laut meinem Nachbar auch richtig (er ist Mathematiker war aber vorhin noch nicht da). Trotzdem glaube ich nicht, dass das für die 8. Klasse ist und ich das garnicht für meine GFS brauche. Also nochmals Danke für die sehr ausfürliche aber echt hilfreiche Antwort!
aber besser maches mit ABC sowie CDA
ABC ist eindeutig, denn du hast a und b sowie beta gegeben. das ist SWS und nach kongruenz eindeutig. daraus folgt, dass der winkel zwischen den punkten CAB eindeutig sein muss. nennen wir den mal x. dann ist der winkel zwischen DAC auch eindeutig und zwar alpha minus x. nennen wir den mal y. jetz kennst du d, y und die strecke von A nach C, denn die ist auch eindeutig (folgt aus der eindeutigkeit des ersten dreiecks. daraus folgt SWS kongruent für das dreieck ACD fertig ist die sache
Nur noch ganz kurz, was sind innenliegende Winkel und was sind außenliegende Winkel? Sind innenliegende Winkel Winkel, die 45° oder weniger haben und außenliegende Winkel mehr als 45° haben?
nein das hat damit nichts zu tuen.
mal eine frage in welche klasse gehst du?
du hast kongruenzsätze und sollst eindeutigkeit eines vierecks zeigen aber standartsachen wie innenwinkel und außenwinkel weisst du nicht?
bis ich das mit dir alles gemacht habe dauert es lange denke ich. obwohl es elementare grundsachen sind. du solltest die ferien nutzen und täglich ein paar stunden lernen
Huhu dadan3,
Ich hatte Kongruenzsätze in Klasse 6 und 7, wie es mit dem Fragesteller aussiehst, weiß ich nicht.
Das Problem ist, dass du seinen/ihren Lehrplan nicht kennst. Wir haben uns nie mit Außenwinkeln in der Schule (Gymnasium) befasst, aber dafür mit anderen Dingen :P
Aber dein Tipp am Ende ist top. Aber: Das heißt, laut deinem Kommentar dürfte der Fragesteller meine Antwort nicht verstehen. Der Kommentar des Fragestellers sagt aber irgendwie das Gegenteil...
ich habe ihm halt vieles versucht kleinschrittig zu sagen. aber bin davon ausgegangen, dass er weiss was kongruenz ist und damit vertraut ist.
hbe halt nicht damit gerechnet, dass immer mehr fragen kamen und grundsachen die eigentlich vorraussetzung sind für seine aufgaben.
ich bin dann nur verwundert, weil solche hausaufgaben (wenn es denn welche sind) ja nur sinn machen würden, wenn man die grundsachen kennt.
also ein lehrer kann sowas ja nicht aufgeben, wenn innenwinkel/außenwinkel spitze und stumpfe nicht klar sind
Kleinschrittig ist Willys Antwort, deine in keinster Weise - sorry, dass ich das mal so sagen muss.
Hallo, dadan,
sieh Dir die Aufgabenstellung noch einmal an: Eindeutig ist zunächst das Dreieck ABD, weil a und d und der von ihnen eingeschlossene Winkel Alpha gegeben ist. Punkt C ist der gesuchte Punkt, von dem Du zunächst nur weißt, daß er von B einen Abstand von b=3 cm hat. Außerdem weißt Du, daß der Winkel zwischen den Seiten b und c 80° beträgt. Da Du aber den Winkel Beta nicht kennst; auch nicht die Länge der Seite c, kannst Du hier nicht ohne einen Umweg konstruieren. Sieh mal auf Sosos Zeichnung: Nur a, b, d, Alpha und Gamma sind gegeben.
Herzliche Grüße,
Willy
Hey,
einfach Eckpunkte C und D verbinden, dann hast du die Seite D :)
Na ja, nehm die mal eine Skizze bzw. Planfigur. Am Haus der Vierecke kann man einfach begründen, denn dort ist ausgesagt, dass ein allgemeines Dreieck 5 Angaben zur eindeutigen Konstruktion haben muss. Foto im Anhang.
Stell dir die gestrichelte Linie vor. Das Viereck wurde so in zwei Dreiecke - nennen wir sie 1 und 2 - unterteilt.
Bei Dreieck 1 ist gegeben:
- d
- Alpha
- a
=> Nach Kongruenzsatz SWS eindeutig konstruierbar.
Bei Dreieck 2 ist gegeben:
- a
- b
- Gamma
=> Hier liegt der Kongruenzsatz SSWg vor. Das Dreieck ist somit nur konstruierbar, sofern der Winkel der größeren der beiden Seiten gegenüber liegt. Da hier a = 2b (heißt a ist doppelt so groß wie b) und logischerweise auch a > b und Gamma gegenüber von a, heißt das, dass das Dreieck eindeutig konstruierbar ist.
Beide Dreiecke sind eindeutig konstruierbar, somit auch das aus diesen Dreiecken zusammengesetzte Viereck :)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen, bei Fragen melde dich :)
LG ShD
PS: Konstruktion siehe Willy1729.
Vielen Dank bin grade noch dran die Antwort von Willy durchzulesen und auch nachzumachen. Trotzdem schonmal im Vorraus vielen Dank!
ich meine Seite c...
Aber vermutlich habe ich falsch gedacht, da ich das Viereck jetzt nicht konstruiert hab.
*Edit*
Wie man das Dreieck konstruiert hat sich geklärt, das mit den Kongruenzsätzen für ein Dreieck, jedoch nicht.
Dreieck ABD mit a, d und α ist ja kein Problem.
Mit BD , b und ɣ hat man nun 3 Stücke von ΔBCD.
Jetzt den Mittelpunktswinkelsatz benutzen.
Lege ε = 10° in B und in D an BD außerhalb von ΔABD .
Schnittpunkt der freien Schenkel ist M (und Winkel DMB = 160°).
Kreis um M durch B und D schneidet Kreis um B mit Radius b in C.
Nicht schlecht. Das mit dem Peripheriewinkel war mir auch mal durch den Kopf gegangen - aber ich hatte den Gedanken nicht zu Ende verfolgt - so bin ich dann auf meine etwas barocke Lösung gekommen, die auch zum Ziel führt,wenn auch nicht so elegant.
Ich fürchte aber, der Fragesteller braucht hierzu nähere Erläuterungen, weil ihm vermutlich das Wissen darum fehlt, daß der Peripheriewinkel über einer Kreissehne halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel über derselben Sehne - der in diesem Fall 160° beträgt (80°*2) und zusammen mit den gleich großen Winkeln Epsilon 1 und 2 im gleichschenkligen Dreieck BMD die Innenwinkelsumme von 180° ergibt. Epsilon = (180°-2*80°)/2=10°.
Du legst also außen an den Punkten B und D Winkel von jeweils 10° an, nennst ihren Schnittpunkt M, schlägst um M einen Kreis mit dem Radius MB=MD, schlägst einen zweiten Kreis um B mit dem Radius b=3 cm. Der Schnittpunkt ist C. Und weil BD eine Sehne dieses Kreises ist mit dem Mittelpunktswinkel von 160°, muß jeder Winkel, der B und D mit dem Kreis um M verbindet, genau 80° haben, so daß Punkt C beide Bedingungen erfüllt: Abstand von B=3 cm, Winkel Gamma bei C = 80°. Perfekt.
Alles Gute,
Willy
Im Namen von NOSkill danke ich für die Erklärung. Sonst hätte er ja auch Mittelpunktswinkelsatz googeln können. Hätte ihm sicher gutgetan. Gruß St.
Das 4-Eck ist durch diese Angaben nicht eindeutig bestimmt; legt man ε nach innen an BD, so entsteht ein konkaves 4-Eck.
Stimmt, diesen zweiten Punkt kann ich mit meiner Methode auch konstruieren - er läge - wie mit Deiner Methode - knapp unterhalb von AB.
Herzliche Grüße,
Willy
P.S.: Kennst Du das kostenlose Java-Programm Z.u.L., Zirkel und Lineal? Damit lassen sich solche Konstruktionen wunderbar am Computer erstellen. Sieh es Dir mal an:
http://zul.rene-grothmann.de/doc_de/index.html
Willy
Wow, sehr ausführlich! Ich habe es viel kürzer und irgendwie anders als du...ist das jetzt falsch? :o