Wie ermittelt man eine Betragsfunktion aus dem Graph der Funktion?
6 Antworten
bei allen Werten, die kleiner als null sind, die positive Gegenzahl nehmen und fertig
Dies wäre mein Ansatz:
Zunächst bestimmst du a. Dazu überlegst du dir, dass |x| nur einen nicht-analytischen Punkt hat (den Knick, nämlich x = 0). Dann wählst du a so, dass der Knick dem im Graph entspricht.
Anschließend wählst du soviele weitere Punkte aus dem Graphen, wie du weitere Parameter in der Funktionsgleichung hast und löst die entsprechenden Gleichungen nach diesen Parametern (hier b und c) auf. Hier bietet sich zum Beispiel g(0) = 0 an (und noch ein weiterer).
Den Ansatz für g hast du ja schon gegeben (unter dem Bild).
Stell die Funktionsgleichungen für die beiden Teilgeraden auf.
Stell die Funktionsgleichungen für g auf für die Fälle |x+a| <= 0 und |x+a| >= 0.
Bestimme a, b und c so, dass jeder Term der ersten Gruppe mit jeweils einem Term der anderen Gruppe übereinstimmt.
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Du kannst auch sagen: Die Kurve hat bei x = 1 einen Knick, und zwar nach oben.
Damit muss irgendwie a * |x-1| als Summand von g auftreten.
Das scheint außerdem der einzige Knick zu sein, und der Funktionsgraph scheint sonst aus Geradenteilen zu bestehen.
Damit muss noch ein Geradenterm der Form m * x + b als Summand auftreten, und das sollten alle Summanden sein. Also ist g von der Form
g(x) = a * |x-1| + m * x + b
Für x < 1 ist x-1 < 0 und damit |x-1| = -(x-1). Also ist
g(x) = -a (x-1) + m x + b ; x < 1
Ebenso ist für x > 1 x-1 > 0 und damit |x-1| = x-1. Also ist
g(x) = a (x-1) + m x + b ; x > 1
Aus diesen beiden Funktionsgleichungen und den Gleichungen für die Geradenteile kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen, mit dem du a, m und b bestimmen kannst.
Dann bestimst du den Term des Geradenteils für x < 1 und
Tipp: |x| entspricht x für x>0, hat also die Steigung 1, und -x für x<0, also Steigung -1.