Wie beweise ich das sin(x^-1) mehr als 2 nullstellen hat?

Guten Abend,

ich hänge in der Klemme. Meine Mathe Lehrerin macht mit uns fürs mündliche Abitur Probe Prüfungen. Die Lezte Frage lautet: Zeige das der Graph von sin(x^-1) im Bereich von 0 bis 1 mehr als 2 nullstellen hat. Jedoch fällt mir wirklich nicht ein wie ich das beweisen soll. Ich hoffe jemand kann mir da weiterhelfen.

liebe Grüße

Answer 1

[Halbrecht]

sin(x) hat Nullstellen bei pi und 2pi , 3pi usw..........Das darf man wissen und voraussetzen

Also bei n*pi

.

n*pi = 1/x 

x = 1/(n*pi)......................sind all diese mehr als 2 ( sogar unendlich ) viele Nullstellen.

.

die "größte" ist bei n = 1 , also 1/1*pi = ca 1/3 wie man hier auch sehen kann

Answer 2

[mihisu]

Naja. Am einfachsten ist es, 3 der Nullstellen anzugeben.

$x_1=\frac{1}{\pi}$

$\text{mit }0<\frac{1}{\pi}<\frac{1}{3}<1$

$\text{mit }\sin\left(\left(\frac{1}{\pi}\right)^{-1}\right)=\sin(\pi)=0$

$x_2=\frac{1}{2\pi}$

$\text{mit }0<\frac{1}{2\pi}<\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}<1$

$\text{mit }\sin\left(\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{-1}\right)=\sin(2\pi)=0$

$x_3=\frac{1}{3\pi}$

$\text{mit }0<\frac{1}{3\pi}<\frac{1}{3\cdot 3}=\frac{1}{9}<1$

$\text{mit }\sin\left(\left(\frac{1}{3\pi}\right)^{-1}\right)=\sin(3\pi)=0$

Comments

[Benni142]

Im Endeffekt muss ja

1/x = m*pi sein

Also x = 1/(m*pi)

Für alle m Element der Natürlichen Zahlen gilt 0>x>1.

Es gibt somit unendlich viele Nullstellen, weil beliebig viele Zahlen für m eingesetzt werden können