Wie bestimme ich die obere Integralgrenze a?
6 Antworten
Das ist nicht so leicht.
Wie die Vorredner schon angaben, normal ausrechnen. Statt eines Wertes bekommst du für das Integral einen Term mit a. Diesen dann mit 16 pi gleichsetzen und a bestimmen.
Für das Integral über cos² x hilft dir:
2 cos² x = cos 2x + 1
Dann noch die Kettenregel bedenken und dass die Abeitung von sin der cos ist.
Kommst du zurecht?
Hast du das Schema erkannt beim Ableiten? Ein Faktor 2 kommt davor und aus cos wird zu -sin.
Beim Integrieren müssen die Schritte genau andersrum sein.
Statt cos² x kannst du die Umformung mit cos 2x machen. In der Formelsammlung findest du: cos 2x = cos² x - sin² x. (Bitte prüfen).
Sieh dir mal die Ableitung von cos 2x an. Innere × äußere Ableitung.
2x wird zu 2 und cos zu -sin.
Entsprechend beim Integrieren andersrum.
Aus cos 2x wird 1/2 × sin 2x
Sonst suche im Internet / youtube nach: integral cosinus square
- oder -
integral cosinus quadrat
aus dem Mathe-Formelbuch,trigonometrische Funktionen,Potenzen von trigonometrischen Termen
cos²(x)=1/2*(1+cos(2*x)
y=f(x)=cos(x) → trigonometrische Funktionen
Nullstellen bei x=pi/2+k*pi → k=0,1,2,3...
f(x)=cos²(x) Nullstellen bei x1=pi/2+0*pi=pi/2 und x2=pi/2+1*pi=3/2*pi → x4=5/2*pi
zeichne die Funktion f(x)=cos²(x),damit du einen Überblick hast
F(x)=∫cos²(x)*dx=∫(1/2*(1+cos(2*x))*dx=1/2*[∫1*dx+∫cos(2*x)*dx]
F(x)=1/2*[x+1/2*sin(2*x)+C=1/2*x+1/4*sin(2*x)+1/2*C → 1/2*C=C
F(x)=1/2*x+1/4*sin(2*x)+C
A=obere Grenze minus untere Grenze x0=pi/2 xu=0
A1=(1/2*pi/2+1/4*sin(2*pi/2))- (1/2*0+1/4*sin(2*0))=(1/4*pi+0) - (0)=
A1=pi/4
F(0)=1/2*0+1/4*sin(2*0)=0
A1+A2=(1/2*3/2*pi+1/4*sin(2*3/2*pi)] - (0)
A1+A2= 3/4*pi FE =2,356 FE
Habe ich mit meinem GTR (Casio) überprüft.
Bei den Nullstellen berührt der Graph f(x)=cos²(x) nur die x-Achse
Allerdings weiß ich nicht,wie man nach x=a umstellt
16*pi=1/2*a+1/4*sin(2*a)
Vielleicht muß man a durch probieren herausfinden
Hab die Aufgabe mit meinem Graphikrechner untersucht
Gesamtfläche=Summe der Einzelflächen
A1=1/4*pi von xu=0 bis xo=pi/2
A2=3/4*pi von xu=pi/2 bis xo=3/2*pi
Ages=16*pi=A1+A2+A3+..+An mit A2=A3=A3
16*pi=A1+n*A2=1/4*pi+n*3/4*pi
n*3/4*pi=16*pi-1/4*pi=64/4*pi-1/4*pi=63/4*pi
n=64/4*4*pi/pi=21
16*pi=1/4*pi+21*3/4*pi=1/4*pi+63/4*pi=64/4*pi=16*pi → 21 Flächen A2=3/4*pi FE
1.te Nullstelle x1=pi/2
2.te Nullstelle x2=3/2*pi
Differenz x2-x1=3/2*pi-1/2*pi=pi
a=1/2*pi+21*pi=1/2*pi+42/2*pi=43/2*pi
a=43/2*pi → sin(2*43/2*pi)=sin(43*pi)=0
Versuch mal als erstes die Stammfunktion zu berechnen und dann die grenzen Einzusetzen, dann solltest du nach a auflösen können.
Dezimal im Bogenmaß (RAD) gerechnet.
Hilft Dir das?
Die Ableitung davon ist dann doch
-2sin(2x), was dann?