Wie kann ich das Volumen zwischen Ebene umd Koordinatenachsen bestimmen?
A)
Wie kann ich das Volumen mit Dreifachintegralen bestimmen?
1 Antwort
Hallo,
Doppelintegral reicht.
Die von x und y abhängige Funktion bekommst Du, wenn Du die Ebenengleichung
x+y+z=1 nach z=f(x;y) auflöst:
f(x;y)=1-x-y.
Wenn Du die Spurpunkte der Ebene in ein Koordinatensystem einzeichnest, siehst Du, daß es um das Volumen einer schiefen Dreieckspyramide geht mit der Grundseite
A (0|0|0), B (1|0|0), C (0|1|0) und S (0|0|1). Natürlich wäre es am einfachsten, das Volumen geometrisch zu bestimmen: (1/3) mal Grundseite mal Höhe mit Grundseite
1²/2=1/2 (ein halbes Quadrat der Seitenlänge 1) mal 1 (die Höhe ist auch 1).
Das ergibt ein Volumen von 1/6 Kubikeinheiten.
Beim Doppelintegral integrierst Du zunächst f(x;y) nach y:
F(x;y)=y-xy-(1/2)y².
Wenn Du die Spurpunkte in der xy-Ebene miteinander verbindest, bekommst Du die Gerade y=1-x.
Du integrierst zunächst von y=0 bis y=1-x.
Da F (x;0)=0, mußt Du nur 1-x für y in F(x;y) einsetzen:
1-x-x*(1-x)-(1/2)*(1-x)², was zusammengefaßt eine nur noch von x abhängige Funktion ergibt:
f(x)=(1/2)x²-x+1/2.
Das wird noch einmal nach x integriert:
F(x)=(1/6)x³-(1/2)x²+(1/2)x, wobei Du x von 0 bis 1 laufen läßt.
Da F(0)=0, muß nur noch F(1) bestimmt werden:
1/6-1/2+1/2=1/6 Kubikeinheiten, wie bereits geometrisch ermittelt; aber warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?
Herzliche Grüße,
Willy
Mit Doppelintegralen werden Volumina berechnet. Flächen berechnest Du mit einfachen Integralen. Eine Fläche bekommst Du beim Doppelintegral, wenn die Höhe über der Fläche überall den Wert 1 hat. Da kannst Du dann aber auch gleich ein einfaches Integral nehmen.
Achso stimmt danke, aber was berechnet man dann mit Dreifachintegralen?
Damit kannst Du auch Volumina berechnen oder Vektorflüsse und was weiß ich. Sicher auch den Inhalt eines vierdimensionalen Gebildes. Für Deine Aufgabe reichte das Doppelintegral aber.
Du kannst mit einem Dreifachintegral aber auch Volumina von Körpern berechnen, deren Grundfläche nicht in der xy-Ebene liegt, sondern ähnlich wie die Deckelfläche ebenfalls Teil einer Flächenfunktion ist. Mit Doppelintegralen berechnest Du das Volumen eines Körpers, der eine flache Unterlage hat.
Statt Spurpunkte sollte es natürlich Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen heißen.
Aber eine Frage hätte ich noch, 8ch dachte mit Doppelintegralen bekomme ich nur die Fläche, wieso kann man hier mit Doppelintegralen das Volumen bestimmen?