Wendepunkt ohne 2. Ableitung?
Hallo, ich schaue gerade alte Klausuren durch und da stand "Diskutieren Sie die Funktion 2^x/(x^2+x) ohne die 2. Ableitung heranzuziehen. Nun gut, Extrema kann ich ja mit der 1. berechnen und dann Vorzeichenwechsel überprüfen, um Hoch-/ Tiefpunkte zu bestimmen. Aber wie kann ich an dieser Funktion ohne die 2. Ableitung sehen, dass kein Wendepunkt vorhanden ist? Oder ist das einfach in der Aufgabenstellung nicht gefragt? Denn schon die 1. Ableitung sah echt mies aus...
6 Antworten
Das kann man über die "Konvexität" der Kurve ermitteln.
Im Wesentlichen ist das der "2. Differenzenquotient", also etwas, dessen Grenzwert die 2. Ableitung ist. Aber manchmal ist das eben doch einfacher.
Man zeigt, dass für x ∈ Intervall und h1, h2 > 0 gilt:
h1/h2 * f(x+h2) + (1-h1/h2) * f(x) ≥ f(x+h1) ("konvex nach unten")
bzw.
h1/h2 * f(x+h2) + (1-h1/h2) * f(x) ≤ f(x+h1) ("konvex nach oben")
(Bei > statt ≥ bzw. < statt ≤ spricht man von "streng konvex")
Die Intervalle sind geeignet zu wählen, insbesondere so, dass in den Intervallen keine Polstellen oder sonstige Singularitäten auftreten.
In diesem Fall also (-∞,0), (0,1), (1,+∞)
Oder man weist Monotonie der 1. Ableitung in diesen Intervallen nach.
Hallo,
immerhin kannst Du mit Hilfe der ersten Ableitung und entsprechenden Grenzwertbestimmungen für plus und minus unendlich sowie an den Polstellen x=-1 und x=0 feststellen, daß die Funktion zwei Extremstellen besitzt: zwischen -1 und 0 (Maximum) und bei etwa 2,47 (Minimum).
Außerdem handelt es sich bei den beiden Polstellen um Polstellen mit Vorzeichenwechsel. Für x gegen minus unendlich geht die Funktion gegen 0, (und zwar von oben her kommend), für x gegen unendlich geht auch der Graph gegen unendlich.
Du hast also (von links nach rechts) einen Hyperbelast, der von knapp oberhalb der x-Achse bei x=-1 gegen unendlich geht. Dann hast Du zwischen -1 und 0 eine Art Parabel, die von minus unendlich kommt, bei x=-0,58 (ungefähr) ein Maximum unterhalb der x-Achse hat (Nullstellen gibt es nicht, weil 2^x niemals Null werden kann), und wieder gegen minus unendlich geht.
Danach hast Du einen Hyperbelast ab x=0, der von plus unendlich kommt, bei etwa 2,47 ein Minimum oberhalb der x-Achse hat und wieder nach plus unendlich verschwindet.
Dies alles kannst Du ohne eine zweite Ableitung herausfinden.
Was Du allerdings so nicht feststellen kannst, ist die Frage, ob die einzelnen Äste der Funktion noch irgendwelche Schlenker machen, wie es bei Wendestellen der Fall ist.
Anscheinend reichen die bisherigen Ergebnisse aber schon für die Aufgabenstellung. Die Nullstellen der ersten Ableitung lassen sich nach der pq-Formel berechnen, weil 2^x ausgeklammert werden kann und danach eine quadratische Gleichung bleibt, die relativ einfach zu lösen ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Super vielen Dank!! Genau so habs ich auch gemacht. Die pq Formel in der Form war zwar gewöhnungsbedürftig, weil die Ableitung ziemlich fies ist, aber es hat ja funktioniert
x^2+x =0 Nullstellen bei x1=0 und x2= - 1 siehe Mathe-Formelbuch
"Gemischtquadratische Gleichung" mit q=0
x^2+p*x=0 nullstellen bei x1=0 und x2= - p
x^2+x=2^x mit x=2 ergibt 2^2+2=6 und 2^2=4
f(2)= 4/6 wird nun x immer größer ,so wird f(x) immer kleiner,weil x^2+x überwiegt , "monoton fallend"
für negative x-Werte ergibt sich 2^(-x)
und x^2 überwiegt x also
wird f(x)= 2^x/(x^2+x) für negative Werte sehr klein , "monoton steigend" bis x=- 1
Sei doch dankbar, wenn du gleich gesagt bekommst, dass die 2. Ableitung nicht erforderlich ist. (Tatsächlich sind die Wendepunkte nicht reell.)
Die 1. Ableitung ist ja auch schon ein Hammer, insbesondere wenn du die Extrema auch ausrechnen willst - samt y-Werten.
Nullstellen gibt es auch nicht, nur zwei Polstellen bei 0 und -1, die man sofort erkennt, wenn man sich den Nenner anguckt.
ja, nehme ich wohl mal so hin. ist nur so, dass der prof gnadenlos ist und 0 punkte gibt, sobald ihm was nicht gefällt. teilpunkte sind nicht drin ;)
also ich weiß nur, dass zwischen Hoch-und Tiefpunkt ein Wendepunkt liegt;
vielleicht hilft dir das weiter.
Nicht unbedingt bei gebrochen rationalen Funktionen, die aus mehreren Ästen bestehen können.
Die Wendepunkte würden wahrscheinlich in die Polstellen fallen.
x^2+x =0 Nullstellen bei x1=0 und x2= - 1 siehe Mathe-Formelbuch
???