Wie berechnet man die Steigung einer Parabel?
Hallo, meine Frage steht ja schon oben. Kann man die Steigung evtl. sogar mit einem Steigungsdreieck berechnen?
5 Antworten
Du suchst dir einen Punkt aus, z.B. bei f(x) = x² den Punkt (2/4). Nun bildest du die erste Ableitung der Funktion, f ' (x) = 2x. Dort setzt du nun deinen X-Wert ein und erhälst f ' (2) = 2 * 2 = 4. Die Steigung in dem Punkt ist 4.
Oder z.B. die Steigung im Punkt (1/1).
f ' (1) = 2 * 1 = 2. Dort ist die Steigung 2.
Je kleiner das Steigungsdreieck, desto genaurer die Steigung an einem Punkt. Für die exakte Steigung muss man das Steigungsdreieck unendlich klein machen, d.h. den Grenzwert bilden. Das gibt dann den Differenzialquotienten
lim x gegen x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0). Den Grenzwert muss man berechnen, dann hast du die exakte Steigung an einem Punkt.
Natürlich kannst du die Steigung an einem bestimmten Punkt mit einem Steigungsdreieck berechnen, wobei die Genauigkeit hierbei von der Größe des Steigungsdreiecks abhängt.
Die mathematisch präzisere Verallgemeinerung ist die Theorie der Ableitungen. Hiermit berechnet sich folgendes:
Die Steigung von f(x) = ax^2 + b * x + c ist 2ax + b
man geht auf der x-Achse solange nach drüben dass man zb. auf 1 kommt und dann nach oben und dann vom scheitelpunkt schauen wie weit nach oben!!
Wenn eine Parabel immer dieselbe Steigung hätte, wäre es eine Gerade ;)
Es lässt sich dieses Verhalten sogar zeigen:
Wir überführen die Parabelgleichung in eine Art der Geradengleichung:
a*x^2 + b * x + c = x * (ax + b) + c
Wäre der Ausdruck (ax + b) nicht von einem Punkt x abhängig, so würde es sich hierbei um eine konstante handeln und wir könnten m = ( ax + b) schreiben und erhalten somit x * m + c, was der Geradengleichung entspricht.
Vektoren berechnen vielleicht?
Aber, wenn man dies an unterschiedlichen Stellen macht, verändert sich der Wert, die Steigung ist also nicht die selbe, dies sollte sie doch aber?