Wie berechne ich diesen Grenzwert dieser Folge?
Hallo, ich wende L Hospital an, aber dieses sin bereitet mir Probleme, wie geht man hier vor?
4 Antworten
Ich würde den Bruch mit x kürzen. Dann gehen einige Teile gegen 0 und es bleibt 4/9 stehen.
Die Regel von Hospital funktioniert nicht immer, so auch hier, denn die Ableitung von sin(x) ist cos(x) und die schwankt zwischen -1 und +1.
f(x) = 2ln(x) + sin(x) + 4x
g(x) = 9x + 7ln(x)
f(x)/x = 2ln(x)/x + sin(x)/x + 4
g(x)/x = 9 + 7ln(x)/x
Wegen lim x->+inf ln(x)/x = 0 und lim x->+inf sin(x)/x = 0 bleibt 4/9 übrig.
Setze einfach mal bei jedem Summanden eine immer höhere Zahl ein. Dann siehst du, dass zwei Summanden viel rascher steigen als die anderen. Du kannst also die anderen wegstreichen. Bei den verbleibenden zwei Summanden kannst du noch das x kürzen.
(2 * ln(x) + sin(x) + 4 * x) / (9 * x + 7 * ln(x))
Erst mal x aus Zähler und Nenner ausklammern :
x * (2 * ln(x) / x + sin(x) / x + 4) / (x * (9 + 7 * ln(x) / x))
Nun x gegeneinander wegkürzen.
(2 * ln(x) / x + sin(x) / x + 4) / (9 + 7 * ln(x) / x)
Nun einfach ein paar Tatsachen beachten :
a * ln(x) , mit positiven a, ist ab einem bestimmten positiven x immer kleiner als x, bedeutet also, dass
2 * ln(x) / x mit x gegen positiv Unendlich gegen Null geht.
sin(x) kommt betragsmäßig nie über |1| hinaus, also geht sin(x) / x mit x gegen positiv Unendlich auch gegen Null.
Dann hast du also :
(0 + 0 + 4) / (9 + 0) = 4 / 9
Naja, eigentlich kommt man ziemlich leicht auf diese Idee.
Glaube ich doch; ist eine Frage, wie oft man sich mit solch einem Thema beschäftigt hat oder nicht.
Clever