Wie berechne ich die Nullstellen von 4cos(2x) = 0?
Bitte mit verständlichen rechenweg:)
3 Antworten
Das ist recht einfach.
Zunächst betrachtest du Äquivalenzumformungen, ich lasse mal die Operationen weg, die musst du dir einfach selber ergründen ;)
4cos(2x) = 0
<=> cos(2x) = 0 (*)
<=> 2x = arccos(0)
<=> x = arccos(0)/2
(*) hier siehst du, dass es um die Nullstellen des Cosinus geht, die aber nochmal durch 2 geteilt werden müssen, vgl. [2]
Kennst du die Nullstellen von cos(x) bereits? Wegen cos(2x) müssen diese nochmal durch 2 geteilt werden.
Nun liefert dir aber der arccos (Umkehrfunktion/Inverse des Cosinus, genannt Arcus Cosinus), je nach dem Wertebereich des cos, mehrere mögliche Lösungen. Üblicherweise betrachtet man die Abbildung cos: [0,2 pi] -> [-1,1], dabei ist dann der Wertebereich [0, 2 pi], darauf ist dein Ergebnis nicht eindeutig, es können also
x= pi/4 und x=3pi/4 Lösungen sein. Vgl. dazu auch [1]
[1] http://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos(0)%2F2
[2] http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+cos(x)+for+x+in+%5B0,+2*pi%5D
cos(2x) = 0 <=> 2x = arccos(0)
Kleine Anmerkung (rein formal):
Die Funktion arccos liefert nur den Hauptwert auf [0;π]. Äquivalenz (⇔) gilt erst, wenn du alle Werte für x angibst:
cos(2x) = 0 ⇔ 2x =±arccos(0) + 2kπ (k∈ℤ)
Entsprechend liefert arcsin nur den Hauptwert auf [-π/2; π/2]. Eine Äquivalenzumformung sieht dort also so aus:
sin x = y ⇔ x = arcsin y + 2kπ ∨ x = π-arcsin y + 2kπ (k∈ℤ)
Das geht einfach, wenn du logisch überlegst und dir die Nullstellen von der normalen Kosinuskurve ableitest.
f(x) = 4cos(2x)
Die Nullstellen des Kosinus liegen bei x = πn - π/2 mit n ∈ ℤ.
Hier ist die Periode 2, also wird die Kurve um den Faktor 2 gestreckt.
Somit liegen die Nullstellen bei x = πn/2 - π/4 mit n ∈ ℤ.
Ach. Ich dachte schon, dass hier sowas wie eine LaTeX Umgebung inoffiziell implementiert wurde :D
Wann wird denn der Cosinus null?
Wieder warst du schneller :D
Wie kann man hier mathematische Terme schreiben?