Wie berechne ich die Möglichkeiten?
Hey, die Aufgabenstellung lautet: Wie viele unterschiedliche Sitzanordnungen von acht Gästen auf acht Stühlen gibt es bei einer Geburtstagsfeier?
Das Lösungsheft sagt 720 Möglichkeiten. Wie komme ich auf diese Zahl?
3 Antworten
Sicher, dass es 8 Gäste und 8 Stühle sind? Oder: Sicher, dass die Lösung dann 720 sein soll?
Denn ich komme auf deutlich mehr als 720 Möglichkeiten. Bzw. wären es beispielsweise bei 6 Gästen und 6 Plätzen dann 720 Möglichkeiten.
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Stelle dir die folgende Vorgehensweise vor, die Möglichkeiten abzuzählen... Die Gäste kommen nacheinander an.
- Gast 1 hat noch freie Auswahl zwischen den 8 Plätzen. [8 Möglichkeiten bis dahin]
- Gast 2 hat nur noch 7 Plätze zur Auswahl, da Gast 1 bereits einen Platz belegt. [Für jede der 8 Möglichkeiten von Gast 1, gibt es jeweils 7 Möglichkeiten für Gast 2. Das ergibt bis dahin dann 8 ⋅ 7 Möglichkeiten für die beiden ersten Gäste zusammen.]
- Gast 3 hat nur noch 6 Plätze zur Auswahl [Für jede der 8 ⋅ 7 Möglichkeiten der ersten beiden Gäste, gibt es jeweils 6 Möglichkeiten für Gast 3. Das ergibt bis dahin dann 8 ⋅ 7 ⋅ 6 Möglichkeiten für die beiden drei Gäste zusammen.]
- [...]
Letztendlich kommt man dann als Gesamtergebnis für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 Gäste auf die 8 Plätze zu verteilen, auf...
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Dabei kann man 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 auch kurz als 8! („Fakultät von 8“) schreiben.
Wenn das tatsächlich die komplette Aufgabenstellung ist, dann ist die Lösung falsch!
Die erste Person hat 8 frei Stühle zur Auswahl, die nächste noch 7, die dritte noch 6, usw. D. h. es gibt 8*7*6*...*2*1=8!=40.320 Möglichkeiten.
Oder sollen etwa z. B. 2 von diesen 8 einen festen Platz zugewiesen bekommen, dann gäbe es für die restlichen 6 Personen 6!=720 Möglichkeiten sich auf die verbleibenden 6 Stühle zu verteilen...
Du hast 8 Stühle.
- Stuhl 8 Möglichkeiten aus 8 Gästen
- Stuhl 7 Möglichkeiten aus 7 Gästen
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- der letzte Gast setzt sich hin
Insgesamt 8! Möglichkeiten