Wenn man immer die Hälfte einer Distanz geht, kommt man dann nie an?
Beispiel: 10 Metern muss ich laufen. Als erstes gehe ich 5. Dann 2,5. Dann 1,25. Und immer so weiter. Dann sollte ich doch eigentlich niemals ankommen, oder?
8 Antworten
das kommt darauf an, ob sich die Zeit, die Du für jedes Teilstück brauchst, auch jedesmal halbiert, oder ob sie konstant bleibt.
Wenn die Zeit pro Stück konstant bleibt, dann halbiert sich Deine Geschwindigkeit mit jedem Stück, und am Ende kommst Du zum Stillstand und erreichst die 10m nicht. (Das ist praktisch nicht umsetzbar, weil Du eine schon sehr geringe Geschwindigkeit irgendwann nicht mehr genau genug halbieren kannst.)
Wenn aber die Geschwindigkeit konstant bleibt, dann halbiert sich die Zeit pro Abschnitt. Das ergibt dann eine konvergente Folge, d.h. eine Summe von unendlich vielen Zeiten die aber einen endlichen Wert ergibt, und nach dieser endlichen Zeit sind die 10 m erreicht.
Das ist überigens eine sehr klassische Denkaufgabe, läuft unter dem Titel "Achilles und die Schildkröte", siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkröte
naja, die Einsicht hier ist halt, dass man in endlicher Zeit tatsächlich unendlich viele Teilabschnitte zurücklegen kann, wenn "die Summe konvergiert".
Praktisch ist das ja nicht experimentell umsetzbar, denn Du kannst die 10m nur endlich oft halbieren - irgendwann kommt die die Heisenbergsche Unschärferelation ins Gehege und man kann nicht mehr messen ob der Läufer nun vor oder nach dem Abschnitt steht, ob er also das Ziel erreicht hat oder nicht.
Die Zeit muss natürlich auch konvergieren.
Wenn man durchgehend geht ist das ja logisch, dass sie das tut. Die Zeit konvergiert dann eben genau auf t = s/v, sobald man aber nach jedem Abschnitt stehen bleibt und auch nur für sehr kurze Zeit kommt man eben nicht mehr ans Ziel, weil die Zeit in dem Fall divergiert.
Für einen Teiler von zB 1.5 würde aber die Zeit immer konvergieren weil eben nur endlich viele Strecken zurückzulegen sind.
Klar ist das ein Gedankenexperiment, das scheitert schon weit vor der Heißenbergschen Unschärferelation an der Durchführbarkeit.
Das lässt sich mit der geometrischen Reihe zeigen:
Im wesentlichen wird hier berechnet welche Strecke man erreicht wenn man unendlich oft diesen Vorgang wiederholt.
Die Reihe da drinnen nennt man geomtrische Reihe und diese hat den Grenzwert:
Was dann eben für die obere Formel eben genau 1 bzw s ergibt.
Das bedeutet man muss unendlich oft diesen Vorgang wiederholen um anzukommen. Was praktisch bedeutet, dass man nie ankommen wird.
Bei divergenten Reihen wie zB der Arithmetischen Reihe geht das aber. Sprich wenn man zunächst die Hälfte des Weges geht und anschließend 1/3, 1/4, 1/5 usw kommt man an.
Die Anmerkung von gfntom stimmt natürlich. Die Zeit für die Teilabschnitte wird auch unendlich kurz, was bedeutet dass man das Ziel schon erreicht wenn man durchgehend geht, was ja auch logisch ist.
Legt man hingegen nach jedem Abschnitt eine Pause ein, egal wie kurz diese auch ist, dann erreicht man das Ziel nie.
Was praktisch bedeutet, dass man nie ankommen wird.
Das stimmt nur bei isolierter Betrachtung. Da sich auch die Zeit halbiert, die man für jeder weitere Teilstrecke braucht, braucht man (wenn man die Zeit fürs "Stoppen" und "Starten" eines Schrittes ignoriert) für die gesamte Strecke nur doppelt so lange, wie für die ersten 5 m.
Kurz: Ja: es sind unendlich viele Teilstrecken, aber die Zeit eine solche zurückzulegen wird auch unendlich kurz.
Die Frage dabei ist natürlich ob man die Strecke kontinuierlich geht oder ob man immer nur den Teilabschnitt geht und stehen bleibt.
Egal mit welcher Geschwindigkeit man die Teilstrecken durchläuft muss man es unendlich oft widerholen.
Wenn man stehen bleibt egal für welche Zeitdauer t >0 dauert es unendlich lange. Wenn man durchgehend geht dann nicht.
Das selbe Phänomen ist ungefähr das, wenn man 1 immer wieder teilt. man kann nie einen Bruchteil nicht mehr teilen. Mathematisch betrachtet ergeben aber alle unendlich viele Teile addiert immer ganz genau eins. Diese Betrachtung hat auch Einzug in den Begriff des Universums gehalten, oder dem All. Uni heißt eins, also alles ist im Grunde in der Summe eins. Auch All weist darauf hin (Alles). Alles und eins ist deshalb gleich. Alles entstand durch den Urknall, das, was existiert war zuvor Eins, in dem alles schon enthalten ist, wie jeder Bruch in der Zahl eins.
Das nur so nebenbei. ;-)
Wenn du so dünn bist, dass du nur ein Punkt auf einer Fläche oder Strecke darstellst, kommst du nie an. Aber bei z.B. 30cm langen Füßen bist du bald am Ziel.
Mathematisch gesehen kommst du nicht an, ja.
Das Problem bei dieser Aufgabe ist aber dass der Grenzwert dieser Reihe genau s ist.
Sprich man muss diesen Vorgang tatsächlich unendlich oft wiederholen um die 10m zu gehen und das unabhängig von der Geschwindigkeit mit welcher man die Wegabschnitte geht.
Sobald man einen kleineren Teiler als 2 zB 1.5 für die Strecke wählt wird die Anzahl der Wiederholungen natürlich endlich.