Welchen Winkel schließen die Vektoren a ⃗ und b ⃗ ein?
Hilfe, ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.
Welchen Winkel schließen die Vektoren a ⃗ und b ⃗ ein, wenn sie folgende Eigenschaften besitzen?
a=3, b=4, (2a ⃗-b ⃗) senkrecht zu (a ⃗+b ⃗)
3-dimensional
6 Antworten
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Einfach nur "Kosinusformel" für den 3 dimensionalen Raum anwenden
siehe Mathe-Formelbuch oder in deine Unterlagen.
Formel cos(c)= a * b/(a) * (b)
a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)
a *b= ax*bx +ay*by+az *bz
(a)= Wurzel (ax^2+ay^2 +az^2)
(b)= Wurzel( bx^2+by^2+bz^2)
Die Indizes sind die Komponenten der Vektoren x,y und z Richtung
Winkel (c)= ar cos ( a *b/((a) *(b) *)
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Hallo,
ich nehme an, a*b soll |a|*|b| bedeuten.
Da cos(Phi)=(a·b)/(|a|*|b|), steht der Nenner schon mal fest: 3*4=12
Es gilt nur noch, a·b herauszufinden.
Dazu hilft Dir die Angabe, daß (2a-b) und (a+b) senkrecht aufeinanderstehen, daß also gilt: (2a-b)·(a+b)=0
Wenn Du das ausmultiplizierst, bekommst Du 2a²-b²+a·b=0
Was ist a²? Das ist a·a
Wenn a der Vektor (x/y/z) ist, bedeutete dies x²+y²+z²
Das ist aber nichts anderes als das, was bei der Berechnung des Betrages unter der Wurzel steht. a² muß also gleich 3²=9 sein.
2a² ist dann 18 und b²=4²=16
18-16=2
Also: 2+a·b=0
a·b=-2
Dann ist (a·b)/(|a|*|b|)=-2/12=-1/6
Das ist der Kosinus des Winkels zwischen beiden Vektoren.
Der Winkel ist dann der Arcuskosinus: arccos(-1/6)=99,6°
Herzliche Grüße,
Willy
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Und ich hatte es zur Sicherheit anhand einer Konstruktion überprüft.
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Wenn du die Vektoren exakt vorgeben kannst, dann kannst du über das Skalarprodukt und die Beträge an den Winkel herankommen:
cos φ = (<a> • <b>) / ab <a> ist mein Vektor, a ist mein Betrag
Du hast anscheinend die Beträge, du brauchst aber auch die Vektoren selber, um das Skalarprodukt zu bilden - egal in welchem Raum.
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Danke für deine Antwort, aber ich habe zu <a> und <b> keine Angaben, außer die genannten der Aufgabe.
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Dann fehlt für mich im Kontext noch irgendeine Angabe, die die Vektoren besser beschreibt.
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Wenn Du mit a und b die Beträge meinst, dann folgt für den Kosinus das gesuchten Winkels cos(Winkel) = 3/4. Ab da kannst Du es allein.
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2-dimensionaler Raum oder 3?
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Betrachte das Koordinatensystem, bei dem der a-Vektor die x-Achse ist, der b-Vektor in der x-y-Ebene liegt. Die z-Ebene braucht man dann nicht, das reduziert die Rechnerei schonmal.
a=(4,0)
b=(p,q) mit Länge 4, also p^2+q^2=4^2 => q=wurzel(16-p^2) => b = (p, wurzel(16-p^2))
es gilt:
(2a-b) * (a+b) = 0
Setze die obigen Vektoren ein in die untere Gleichung, damit müsste p eindeutig bestimmt sein (vermutlich quadratische Gleichung)
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Danke für deine Antwort. Aber warum kann man für die Koordinate p einfach p einsetzen und muss nicht wurzel(16-q²) dafür einsetzen?
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Du kannst stattdessen auch die Variable p rauskürzen, dann kommt (wurzel(16-q^2), q) für b heraus.
hauptsache du kürzt eine Variable raus und es bleibt nur noch die andere übrig.
übrigens hatte ich einen fehler: a muss (3,0) sein, denn a hat ja Länge 3 und nicht 4.
Danke!! Das Ergebnis ist richtig(hab das Ergebnis ohne Rechenweg vorliegen).