Vektoren mit Variable so berechnen, dass Winkel mit bestimmten Wert herauskommt?

Heyho,

gegeben sei folgende Aufgabe:

Für welchen Wert von k schließen die beiden Vektoren a = (k / 0 / -1) und b = (1 / √2 / -1) einen Winkel von 45° ein?

Habe versucht die Gleichung zur Winkelberechnung zu verwenden und nach k aufzulösen, jedoch kriege ich das nicht hin. Kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

[poseidon42]

cos(Winkel) = <a,b>/(||a||*||b||)

mit <a,b> = k + 1 

||a|| = sqr(k² + 1)

||b|| = sqr(1 + 2 + 1) = 2

und cos(45°) = sqr(2)/2

--> sqr(2)/2 = (k+1)/(2*sqr(k² + 1)) 

--> sqr(2) = (k+1)/(sqr(k² + 1))    II  (...)^2

--> 2 = (k² + 2k + 1)/(k² + 1)     II *(k² + 1)

--> 2k² + 2 = k² + 2k + 1

--> k²- 2k + 1 = 0

--> (k - 1)² = 0 

--> k = 1   

Answer 2

[Jaer6]

Würde es mit dem skalarprodukt machen, kannst da denn Cosinus anwenden,
Skalarprodukt = a1b1+a2b2+a3b3
Die genaue gleichung habe ich nichr im kopf, wi der cosinus mit dem zusammenhängt