Rationalzahlen und Irrationalzahlen, Mathe. 8. Klasse
Bitte um Hilfe bei folgender Frage : Setze 0,12233344445.... zu einem nichtabbrechenden Dezimalbruch fort, sodass er 1- eine Rationalzahl darstellt 2- eine irrationale Zahl darstellt. formuliere jeweils mehrere geeignete Anweisungen zur Fortsetzung . Gib Begründungen an.
5 Antworten
hier mal "echte mathematische Formeln":
http://www.gerdlamprecht.de/12233344445.html
Begründung ist die Periodendauerlänge letzte Spalte.
(8. Klasse muss natürlich nicht alle Funktionen kennen)
Eine rationale Zahl erhältst Du, wenn Du eine periodische Ziffernfolge erfindest, z. B. nach 999999999 wieder mit 122333 beginnst.
Eine irrationale Zahl hast Du, wenn die Fortsetzung keine Periode enthält, also z. B. nach 999999999 mit 10101010101010101010 weitermachst.
1- eine Rationalzahl darstellt
Einfachster Weg: Irgnoriere die durch das "Muster" nahegelegte Regel und mache (zum Beispiel) das:
0,12233344445555555555555....
Also, 0,1223334444p5 (Periodenstrich über der 5). Du erhälst eine gemischt-periodische Dezimalzahl, und diese ist rational. Natürlich gibt es noch viele, viele andere Möglichkeiten. - Etwa, dem "Muster" eben doch zu folgen:
0,122333444455555666666777777788888888999999999122333444455555666666777777788888888999999999122333444455555666666777777788888888999999999122333444455555666666777777788888888999999999.....
Hier wäre "122333444455555666666777777788888888999999999" selbst die Periode - wenn aber sonst nichts bei der Aufgabe dabeistand, ist die erste Möglichkeit ebensogut wie die zweite (und viele weitere gäbe es dann)
2- eine irrationale Zahl darstellt.
Auch hier könnte man die durch das "Muster" nahegelegte Regel ignorieren und einfach irgendwas anhängen, etwa:
0,12233344445101001000100001000001000000100000001...
Hübscher ist es aber vllt wirklich, wenn man das "Muster fortsetzt:
0,122333444455555666666777777788888888999999999101010101010101010101111111111111111111111121212121212121212121212...... (danach halt 13 mal "13" anhängen, dann 14 mal "14" etc)
- Mach einen Querstrich über die letzten n Dezimalstellen. Begründung: diese (periodische) Zahl ist rational, denn die Multiplikation mit (10¹¹ - 10ⁿ ) ergibt eine ganze Zahl.
- i = π-3,01925920913 ist irrational. Begründung: 3,01925920913 ist rational (mit 10¹¹ malnehmen). Wäre i rational, so auch die Summe i+3,01925920913=π; Widerspruch!
Die Fortsetzungen in den anderen Antworten sind zwar eleganter, aber ich sehe keine einfache Begründung, dass sie garantiert irrationale Zahlen produzieren.
Begründung, dass eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge nicht rational ist?
Eine positive rationale Zahl lässt sich als Quotient zweier natürlicher Zahlen darstellen. Die Dezimalschreibweise einer solchen Zahl bricht entweder ab oder enthält eine periodisch wiederkehrende Ziffernfolge.
--> obige Ziffernfolge repräsentiert keine rationale Zahl.
Yep, und außerdem eine Begründung, dass die konstruierte Zahl nicht periodisch ist. Man kann sicher irgendwie zeigen, dass jede vermutete Periodenlänge unendlich oft überschritten werden muss. Aber beide Beweise zusammen sind eben kein Einzeiler mehr :(
Ich hoffe immernoch auf einen simplen und eleganten Beweis.
So wie Mickey oder
1) rational: Nach neun mal die 9 wieder acht mal die 8 usw bis einmal die 1 und wieder von vorne.
2) irrational: Nach neun mal die 9 kommt zehnmal die 0, dann 11 mal die 1, 12 mal die 2 usw.
10101010 sieht mir ziemlich periodisch aus.