Sind die folgenden Mengen im R n offen, abgeschlossen oder weder das eine noch das andere?

Sind die folgenden Mengen im Rⁿ offen, abgeschlossen oder weder das eine noch das andere? Begrunden Sie Ihre Antwort.

a) M1 = {x ∈ R² , x_{1 und 2}  ungleich 0}

M2 = {x ∈ Rⁿ, 0 < Norm vom Vektor x <gleich 1}

M3= {x ∈ R³, (x1)² + (x2)² + (x3)² = 1}  

^{(b) Zwei der Mengen aus Teil (a) sind nicht abgeschlossen. Bestimmen}

^{Sie jeweils den Abschluss.}

Answer 1

[Traumtuer54]

Wie habt ihr abgeschlossen und offen definiert? Über Kugeln?

a) 1. offen. Betrachtet wird ganz R² ohne den Ursprung und auch nicht z. B. (0,1). Offen <=> jeder Punkt hat eine Umgebung, die in M1 liegt. Wir haben hier relle Zahlen, können also an diese „Löcher" (eterneeladam hat Recht, es sind ja die Achsen, also „Risse") unendlich nah rankommen. Das trifft alle Punkte außer den Rissen und es gibt für jeden einzelnen Punkt in M1 Umgebungen, seien sie auch noch so klein, von diesen Punkten, die eine Teilmenge von M1 sind.

2. weder noch. Betrachtet wird eine Einheitskugel mit Oberfläche, aber ohne Ursprung.

Nicht offen, da es zu einem Punkt auf der Oberfläche keine Umgebung gibt, die gänzlich in M2 liegt.

Nicht abgeschlossen, weil sonst R^n\M2 offen wäre. Der Ursprung (0,...,0) hat aber keine Umgebung, die vollständig außerhalb von M2 liegt.

3. abgeschlossen. Betrachtet wird nur die Oberfläche der Einheitskugel in R³. Sie ist abgeschlossen <=> R³\M3 ist offen. Auch hier können wir im reellen Raum dem Rand der Einheitskugel von Innen sowie außen immer näher kommen. Damit gibt es jeweils eine Umgebung zu jedem Punkt, der nicht auf der Kugel ist, sodass die Umgebungen Teilmenge von R³\M3 sind, also ist das Komplement von M3 offen <=> M3 abgeschlossen.

b) Abschluss ist Menge vereinigt mit Rand.

1. Randpunkte sind die Achsen. Jede Umgebung zu einem Punkt auf den Achsen beinhaltet seinen Nachbarn. Damit liegen sie teils in M1, teils außerhalb. Der Abschluss ist M1 vereinigt mit den Achsen, also R²

2. Der Ursprung ist ein Teil seiner Umgebungen, die Punkte in M2 beinhalten und eben auch den Nullpunkt, der außerhalb von M2 liegt. Der Abschluss ist M2 mit Ursprung.

Answer 2

[eterneladam]

M1 ist der R² ohne die Achsen, das ist offen, der Abschluss ist R²

M2 ist die Einheitskugel im R^n ohne Nullpunkt, das ist weder noch, der Abschluss ist mit Nullpunkt dabei

M3 ist die Hülle der Einheitskugel im R³, das ist abgeschlossen

Solltest du selbst begründen können.

Comments

[ssdd22333]

Also von a ist der Abschluss R² , weil R² die Menge aller Berührpunkte von M1 ist, oder? Weil vereinigt man R² und M1, bekommt man wieder R². Und bei b ist der Abschluss dann Rⁿ mit dem Nullpunkt, weil die Rⁿ mit dem Nullpunkt die Menge aller Berührpunkte ist, weil vereinigt man Rⁿ und M2, dann hat man Rⁿ mit dem Nullpunkt: Ist diese Begründung, okay?