We kann ich die Höhe eines schiefen prismas berechnen?
Also ich muss die Höhe berechnen, kann aber nicht einfach eine Seitenkante nehmen, weil die nicht senkrecht auf der Grundflächen Ebene ist.
Kann mir das jemand erklären? Weil ich könne zwar einen senkrecht zur Ebene Vektor berechnen aber den müsste ich ja dann "kürzen" bis zur zweiten Ebene.
Danke für eure Hilfe!!
4 Antworten
Hallo,
die Höhe entspricht dem Abstand von Punkt D zur Grundebene.
Um die Gleichung der Grundebene zu bestimmen, brauchst Du nur einen Stützvektor, hier paßt praktischerweise (0/0/0), weil die Ebene durch den Ursprung geht, und zwei Richtungsvektoren, die in diesem Fall mit A, B oder C übereinstimmen,
da A-0=A, B-0=B usw.
Du suchst Dir zwei dieser Vektoren aus und bildest über das Kreuzprodukt den Normalenvektor der Ebene.
(3/2/-1)x(0/2/-1)=(0/1/2)
Ich habe als Richtungsvektoren die Ortsvektoren von A und B genommen und sie gekürzt. Auch das Kreuzprodukt habe ich gekürzt.
Mit dem Normalenvektor (0/1/2) ergibt sich die Ebenengleichung y+2z=a
a bekommst Du, indem Du irgendeinen Punkt der Ebene einsetzt, etwa (6|4|-2), als Punkt A. In diesem Fall darf nicht gekürzt werden.
0*6+1*4+2*(-2)=0
Ebenengleichung der Grundebene daher y+2z=0
Normalenvektor der Ebene n=(0/1/2)
Betrag |n| des Normalenvektors √(0²+1²+2²)=√5
Abstand Punkt D zur Ebene=(n·(D-O))/|n|=[(0/1/2)·(0/8/11)]/√5=30/√5=6*√5.
Das ist die gesuchte Höhe.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich würde so vorgehen:
1) Ebenengleichung berechnen, in der die Grundseite liegt:
Dann würde ich den Abstand zu der Ebene berechnen, in der die Deckfläche liegt. Da aber Grund- und Deckfläche parallel liegen, genügt es, den Abstand eines beliebigen Punktes der Deckfläche zur Grundebene zu berechnen. Dazu nehme ich den Punkt D.
Schritt 1: Normierten Normalenvektor der Ebene berechnen:
Dieses Gleichungssystem muss gelöst werden:
Die Gerade, auf der der normierte Vektor liegt, hat also die Gleichung:
Du hast doch alle Punkte für die erste Fläche gegeben und dann noch die Höhe von O zu D. Da die Seitenwände alle Rechtecke sind, sind somit alle anderen Kantenlängen gleich lang wie OD.
OK aber bin mir unsicher weil da extra steht das die Kanten nicht senkrecht zur Ebene sind und das ja bei der Höhe der Fall sein sollte
Ich denke, hier ist mit Ebene die Unterseite gemeint. Denn du sollst nicht mit der Annahme hergehen, dass OA und DE senkrecht sind. Und selbst wenn bei allen Geraden keine Senkrechte gibt, dann denke einfach an das Parallelogramm. Es ist auch nicht senkrecht zur Grundlinie und dennoch berechenbar, da der Flächeninhalt sich von einem Rechteck nicht unterscheidet. Würden alle Linien, die nach hinten führen, nicht parallel zueinander sein, so wäre das Prisma mit deinen gegebenen Punkten gar nicht berechenbar.
Die Höhe ist eine Seitenkante, aber dann eben ein Vektor O -> D.
Aber der Abstand von Punkt D zur Ebene ist doch einfach der Betrag von Vektor DO
Oder nicht??