Was sind die Quadratwurzeln von 2i?
Aufgabe ist finde die Quadratwurzeln von 2i.
wie geht das?
3 Antworten
In Exponentialschreibweise ist
Dann kannst Du diese Formel anwenden, um die beiden Wurzeln zu bestimmen (sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen).
Wenn du das nicht mit Polarkoordinaten/Exponentialschreibweise machen willst, kannst du das auch direkt ausrechnen:
Du suchst eine/zwei komplexe Zahlen, die kannst du so schreiben:
a+bi mit reellen Zahlen a und b
Also hast du
(a+bi)² = 2i
Ausmultipliziert
a² + 2abi - b² = 2i
Vergleich der Realteile links und rechts ergibt:
I. a² - b² = 0
Vergleich der Imaginärteile links und rechts ergibt
II. a * b = 1
Aus I. folgt a = b oder a = - b.
Eingesetzt in II. folgt für a=b
a * a = 1, also a² = 1 und damit a = 1 oder a= -1, das ergibt die beiden Lösungen
1 + i und -1 - i.
Setze ich a = - b in II. ein, so erhalte ich
a * (-a) = 1, also -a² = 1, das hat in R keine Lösungen, so dass ich für diesen Fall auch keine weiteren Wurzeln finde.
Die beiden Wurzeln sind also
1 + i
-1 - i
Zur Probe setze ich das mal ein:
(1 + i)² = 1 + 2i - 1= 2i.
z = 2*i
arg(z) = pi/2 (der Winkel der komplexen Zahl i beträgt 90 Grad)
Daraus folgt:
arg( sqrt(z) ) = pi/4
Daraus folgt:
sqrt(z) = sqrt(2)*(cos(pi/4) + i*sin(pi/4))