Was rechne ich falsch?
Die Aufgaben Stellung ist:
F1: y= - log(2,(x+4)) - 3
F2: y= log(2,(x+5)) - 1
Die Graphen zu f1 und f2 schneiden sich im Punkt S. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.
Ich habe versuche die beiden Funktionen gleichzusetzen und nach x aufzulösen um die x-Koordinate von S zu bekommen.
Dann wollte ich das Ergebins in die zweite Funtion für x einsetzen um y rauszukriegen. Aber man kann ja nicht den Logarithmus von -3,5 zur Basis 2 rechnen. Was habe ich falsch gemacht?
1 Antwort
Es sieht so aus, als ob es einen Fehler bei deinem Ansatz gibt. Lass uns den Lösungsweg gemeinsam überprüfen:
Setze die beiden Funktionen gleich:
\[-\log_2(x+4) - 3 = \log_2(x+5) - 1\]
Addiere \(\log_2(x+4)\) zu beiden Seiten:
\[-3 = \log_2(x+5) - \log_2(x+4) - 1\]
Fasse die logarithmischen Terme zusammen:
\[-3 = \log_2\left(\frac{x+5}{x+4}\right) - 1\]
Addiere 1 zu beiden Seiten:
\[-2 = \log_2\left(\frac{x+5}{x+4}\right)\]
Wende die Definition des Logarithmus an:
\[2 = \frac{x+5}{x+4}\]
Multipliziere beide Seiten mit \(x+4\):
\[2(x+4) = x+5\]
Löse nach \(x\) auf:
\[2x + 8 = x + 5\]
\[\Rightarrow x = -3\]
Jetzt setze \(x\) in eine der ursprünglichen Funktionen ein, um \(y\) zu finden. Verwende beispielsweise \(F1\):
\[y = -\log_2(-3+4) - 3\]
\[y = -\log_2(1) - 3\]
\[y = -0 - 3\]
\[y = -3\]
Also ist der Schnittpunkt \(S\) bei den Koordinaten \((-3, -3)\).
Ich verstehe das ab "Wende die Definition des Logarithmus an:" nicht mehr. Würde das denn nicht bedeuten das: (x+5)(x+4)=2^-2 ? Und dann was?
Lass uns das klären:
Wenn du die Definition des Logarithmus anwendest, erhältst du:
\[2 = \frac{x+5}{x+4}\]
Nun, um weiter zu vereinfachen, multipliziere beide Seiten mit \((x+4)\):
\[2(x+4) = x+5\]
Dann verteile auf der linken Seite:
\[2x + 8 = x + 5\]
Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten:
\[x + 8 = 5\]
Subtrahiere 8 von beiden Seiten:
\[x = -3\]
Das bedeutet, dass die x-Koordinate des Schnittpunkts \(S\) \(x = -3\) ist. Nun setze diese \(x\)-Koordinate in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die \(y\)-Koordinate zu finden. Verwenden wir beispielsweise \(F1\):
\[y = -\log_2(-3+4) - 3\]
\[y = -\log_2(1) - 3\]
\[y = -0 - 3\]
\[y = -3\]
Daher ist der Schnittpunkt \(S\) bei den Koordinaten \((-3, -3)\).