Was ist x hoch -1 hochgeleitet?

Die Stammfunktionen von

(1) f(x) = 1/x = x⁻¹

sind

(2) F[C] = F₀(x) + C = ln(|x|) + C,

wobei C eine beliebige Konstante ist, die beim Ableiten keinen Beitrag ergibt. Für x > 0 ist das mit ln(x) identisch.

Das wirft die Frage auf, wie man darauf kommt.

Es ist klar, dass die übliche „Integrations“regel für Potenzfunktionen

(3) f(x) = x^k ⇒ F₀(x) = (k+1)⁻¹x^{k+1}

hier nicht funktioniert, weil hier k+1=0 ist. Da (3) auch für gebrochene Zahlen funktioniert, ist tatsächlich

(4)  f(x) = x^{–1+1/n} ⇒ F₀(x) = n·x^{1/n}.

Bei großem n wird der Verlauf einer solchen Funktion der des natürlichen Logarithmus recht ähnlich. Das ist natürlich kein echtes Argument.

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Wenn wir F(x) einer Variablen y(x) gleichsetzen, ist, dann ist

(5) f(x) = 1/x = dy/dx ⇒ x(y) = F⁻¹(x) = dx(dy) = x'(y),

wobei mit F⁻¹ die Umkehrfunktion gemeint ist. Die Umkehrfunktion ist also ihre eigene Ableitung, und dies trifft auf die Exponentialfunktion 

exp(x) = e^x

zu, wobei e = 2,718281828… (keine Periode! Die Zahl ist irrational und sogar transzendent) die Euler'sche Zahl ist. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis e ist der natürliche Logarithmus.

Zugegebenermaßen ist (5) mathematisch nicht ganz sauber, denn dx/dy ist sozusagen eine typische Physiker-Ableitung. Man stellt sich sowohl dx als auch dy als klein, aber endlich vor und behandelt sie wie echte Brüche.

Das wäre dann der ln(x) bzw. ln(x) + c.

ln'(x) = 1/x

log(|x|) + C