Was ist eine Mandelbrot-Menge? Wer kann es mir einfach/genauer erklären?
Kurzer Tipp: Ich glaube das ist so ein Mikroskop das auf ein Objekt immer ins Unendliche zoomt, und dabei kann man verschiedene Stufen/Farben sehen, die immer weiter unendlich reinzoomen oder so bis irgendwann mal man nur schwarzes sieht. Weiß net ob ich das richtig beschrieben habe
3 Antworten
Angenommen, du hast eine Funktion namens
f(x) = x² + c
Wenn du da Werte einsetzt, erhältst du neue Werte.
Die Idee ist nun: Schreib dir die Startwerte für x und c auf. Und nun setzt du die in deine Funktion ein. Diesen neuen Wert setzt du wieder als neues x in deine Funktion ein. Und nochmal. Und nochmal. c bleibt dabei immer gleich.
Das nennt man Iteration.
Nun kann es passieren, dass deine Werte für x riesig groß werden. Es kann aber auch passieren, der Wert von x eben klein bleibt.
Die Mandelbrot-Menge entsteht nun, wenn du dir folgendes anguckst:
"Für welches c explodiert der Wert von x unter Iteration und wann nicht?"
Dazu brauchst du komplexe Zahlen. Das sind Zahlen der Form a + bi wobei i² = -1 bzw. √(-1) = i.
Wenn du jetzt die komplexe Ebene nimmst und jeden Punkt ein c sein lässt und du jetzt anfängst zu iterieren (mit dem ersten x gleich null) und dann alle Punkte, bei denen der Betrag von x explodiert, weiß malst und den Rest schwarz, dann hast du die Mandelbrot-Menge.
Die Mandelbrot - Menge ist eine Teilmenge von ℂ, der Menge der Komplexen Zahlen. Das sind Zahlen der Form
(1) z = x + i⋅y, y ∈ ℝ,
wobei i² = −1 ist. Dank der Euler'schen Formel
(2) e^{i·φ} = cos(φ) + i·sin(φ)
lassen sie sich auch als
(3.1) z = |z|·e^{i·φ}
(3.2) x = Re(z) = |z|·cos(φ)
(3.3) y = Im(z) = |z|·sin(φ)
schreiben. Die Komplexe Zahl z lässt sich also als Vektor-Pfeil in einer Ebene darstellen, und φ ist der Winkel mit der positive x-Achse darstellt. Beim Multiplizieren multiplizieren sich die Beträge mit, und die Winkel addieren sich. Beispielsweise ist
i = e^{i·π/2} ⇒ i² = (e^{i·π/2})² = e^{i·π} = −1.
Das Bild zeigt sämtliche Potenzen von i; es gibt davon gar nicht so viele, da die 4. bereits mit der 0. (nämlich 1) identisch ist.
Das ist die Ausgangslage.
Definiert man nun eine komplexe Zahlenfolge rekursiv durch
(4.1) z₀ = 0
(4.2) zₙ₊₁ = zₙ² + c
mit einer komplexen Konstanten c, so ist die Mandelbrot-Menge die Menge aller c, für die (4.1-2) beschränkt bleibt, also nicht ins Unendliche abhaut.
Konvergieren muss die Folge nicht unbedingt. Eine Folge, die auf dem Rand startet bleibt auch auf dem Rand.
Der Rand ist das, was diese Eigenschaft der Selbstähnlichkeit hat, d.h., dass in immer kleineren Größenskalen immer wieder ähnliche Strukturen auftreten. Der Rand ist insgesamt unendlich lang und keine echte Linie, aber auch noch keine Fläche, sondern etwas dazwischen. Man spricht auch davon, dass die Dimension zwischen 1 und 2 liegt und nennt solche Strukturen Fraktale.
https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge
Die Farben sind Artefakte der Darstellung, keine Eigenschaften der Menge oder der Komplexen Zahlenebene.
Es gibt ein häufiges Prinzip in der Natur, das nennt sich Selbstähnlichkeit. Bei Bäumen tritt es z.B. auch auf. Selbstähnlich bedeutet, dass sich auf verschieden hohen Ebenen immer wieder dieselbe Struktur finden lässt. Lediglich im Detail unterscheiden sie sich unter Umständen.
Solchen selbstähnlichen Strukturen liegt sehr häufig eine sehr einfache mathematische Formel zu Grunde, die immer wieder neu angewendet wird.
Dieser Effekt wurde im Prinzip schon Anfang des letzten Jahrhunderts entdeckt, aber erst Benoit Mandelbrot ist es gelungen, diesen Effekt in mathematische Formeln zu gießen.
Hat man nun ein solches Gebilde, das durch die wiederholte Anwendung einer einfachen Formel zur Selbstähnlichkeit führt, spricht man von einer Mandelbrotmenge.
Der Rand der Mandelbrot - Menge ist zwar selbstähnlich, aber das Bildungsprinzip ist eine Rekursion.
"Hat man nun ein solches Gebilde, das durch die wiederholte Anwendung einer einfachen Formel zur Selbstähnlichkeit führt, spricht man von einer Mandelbrotmenge."
Ähh, was ist mit Julia-Mengen? Dem Newton-Fraktal? Dem Sierpinskidreieck? Dem Menger-Schwamm? Das sind keine Mandelbrotmengen.
Richtig, das sind keine Mandelbrot-Mengen. Sag's ich ja: Nicht alles, was fraktal ist, ist „Mandelbrot“.
Der Rand der Mandelbrot - Menge ist zwar selbstähnlich, aber das Bildungsprinzip ist eine Rekursion.
Sag ich ja:
"Solchen selbstähnlichen Strukturen liegt sehr häufig eine sehr
einfache mathematische Formel zu Grunde, die immer wieder neu angewendet wird."
Für komplexe Zahlen verwendet man normalerweise eher z als x, wenngleich das natürlich nur Konvention ist.