Was ist die Mächtigkeit/kardinalität in Mathe?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/KimMell/1679585031830_nmmslarge__0_0_1936_1935_773fc19e7c8fbe74acd0a0ca43813d83.jpg?v=1679585032000)
Man nimmt die Mengen A_n:
und außerdem die natürlichen Zahlen N und deren Potenzmenge P(N)
Man definiert die Kardinalität über eine Äquivalenzrelation ~, seien A und B Mengen:
A ~ B <=> Es existiert eine Bijektion A -> B
Man sagt:
|A| = n, wenn A ~ A_n
|A| = unendlich, wenn A ~ N oder A ~ P(N)
A ist abzählbar, wenn für ein n A ~ A_n oder A ~ N
A ist überabzählbar, wenn A ~ P(N)
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Bei endlichen Mengen ist es einfach die Anzahl der Elemente, bei unendlichen Mengen wird es etwas kompliziert, da unendlich nicht gleich unendlich ist.
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Das beinhaltet aber doch schon in der Mengenbegriff, oder?
Aber es schadet natürlich nicht, das nochmal explizit zu betonen ;-)
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Natürlich beinhaltet der das. Aber weiß das jeder, der hier fragt?
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weiß das jeder
vermutlich nicht. Manche begegnen der mathematischen Menge zum ersten Mal an der Uni. Und wundern sich dann, dass "Anzahl" etwas anderes sein soll.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge.
Bsp.: Man nehme die Menge A, in der alle natürlichen Zahlen von 5 bis 10 sind.
Die Mächtigkeit ist 6.
Wobei doppelte und mehrfache Elemente nur einfach gezählt werden.
Die Menge {1;2;2;4;5;5;5;7} hat nicht etwa die Mächtigkeit 8, sondern die Mächtigkeit 5, weil sie nur 5 unterschiedliche Elemente enthält.