Was ist der kleinstmögliche Wert der Summe?
Was ist davon der Kleinstmögliche Wert der Summe?
|x−1|+|x−3|+|x−5|
3 Antworten
Betrachte die Summe:
S = |x - 1| + |x - 3| + |x - 5|
Substituiere: x = 3 + y
S = |y + 2| + |y| + |y - 2|
Für y = 0 folgt:
S(y = 0) = S(x = 3) = 4
Für 2 >= y > 0 folgt:
S(2 >= y > 0) = |y + 2| + |y| + |y - 2| = 2 + 2y + 2 - y = 4 + y > 4
Für y > 2 folgt:
S(y > 2) = |y + 2| + |y| + |y - 2| = 2 + 2y + y - 2= 3y > 6
Die Fälle für negatives y verlaufen analog. Wir haben somit gezeigt, dass gilt:
min(S(x)) = min(S(y)) = 4
an der Stelle y = 0 bzw. x = 3.
Um die Aufgabe zu lösen muß man eine Fallunterscheidung anhand des Vorzeiches der Betragsargumente machen.
Für x <= 1 ergibt sich -(x-1) -(x-3) -(x-5) = -3x+9
Der kleinste Wert wird hier für x=1 erreicht und ist 6.
Für 1<=x<=3 ergibt sich (x-1) -(x-3) -(x-5) = -x+7
Der kleinste Wert wird hier für x=3 erreicht und ist 4.
Für 3<=x<=5 ergibt sich (x-1) +(x-3) -(x-5) = x+1
Der kleinste Wert wird hier für x=3 erreicht und ist 4.
Für x>=5 ergibt sich (x-1) + (x-3) + (x-5) = 3x-9.
Der kleinste Wert wird hier für x=5 erreicht und ist 6.
Insgesamt ist die kleinste Summe also 4.
x = 3 ergibt den kleinsten Wert
y = 4 ist der kleinste Wert
(Quelle: Desmos-Plot für "\left|x-1\right|+\left|x-3\right|+\left|x-5\right|")
