Was bedeutet das bei der H-Methode?
f’(x0) =lim h -> 0...
wofür steht x0 und lim h -> 0?
4 Antworten
Man hat einen Funktionswert der bei x =x0 liegt also f(x0), und einen weiteren der einen h-Abstand rechts von x0 liegt, also f(x0 + h)
Die Steigung zwischen diesen beiden Punkten errechnet sich mit folgender Formel:
(f(x0 + h) - f(x0))/h
Du lässt nun den Abstand zwischen den beiden Punkten, nämlich h, gegen Null laufen (also lim -> 0), sodass du die Steigung beim Punkt x0 rausbekommst.
Das ganze nennt sich übrigens Differentialquotient.
Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1
Ist die Sekantensteigung durch die Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
Die Sekante ist eine Gerade der Form y=f(x)=m*x+b
geht nun das Intervall x2-x1 gegen Null,so ergibt das den Diffentialquotienten
dy/dx=y´=f´(x) ist die 1.te Ableitung der Funktion f(x)=.... nach der unabhängigen Variablen x
mit der h-Methode ist das dann die Schreibweise mit x2-x1=h
wobei xo=x1 ist und x1+h=x2 ist
ergibt m=(f(x+h)-f(x))/h ist die allgemeine Form oder für einen speziellen Wert für x
x=xo ergibt dann m=(f(xo+h)-f(xo))/h
Beispiel: y=f(x)=2*x+3 mit x2-x1=h
m=((2*(x+h)+3)-(2*x+3)/h
m=2*x+2*h+3-2*x-3)/h
m=(2*h)/h
dy/dx=y´=m=2
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Differentialrechnung,Differentationsregeln,elementare Ableitungen
Konstantenregel (a*f(x))´=a*f´(x)
Potenzregel (x^(k))´=k*x^(k-1) mit x≠0 und k<0
Summenregel f´(x)=f´1(x)+/-f´2(x)+/-...f´n(x)
y=f(x)=2*x+3*x⁰ x⁰=1
y´=f´(x)=2*1*x^(1-1)+3*0*x^(0-1)
y´=f´(x)=2
Hier hat sich h aufgehoben,was aber bei anderen Aufgaben nicht so ist.
Man muß dann den Grenzwert bilden lim h mit h→0
y=f(x)=x²
m=((x+h)²-x²)/h
binomische Formel (x+b)²=x²+2*h*x+b²
m=(x²+2*h*x+h²-x²)/h=(2*h*x+h²)/h
m=2*h/h*x+h²/h=2*1+h mit h→0
m=2*1*x+0
y´=f´(x)=2*x wenn y=f(x)=x² abgeleitet wird
Hinweis:Bei der Rechnung kannst du mit m=(f(x+h)-f(x))/h rechnen.
Dann erhälst du die allgemeine Ableitung.
xo ist dann nur ein spezieller Wert für x1
f´(xo)=m ist die Steigung an der Funktion f(x)=... an der Stelle x=xo
- x0 ist die x-Komponente des linken Endpunktes der Sekante an die Funktion, und h die Differenz aus den x-Komponenten des rechten und des linken Endpunktes dieser Sekante.
- lim h -> 0 steht hier für „bilde den Grenzwert der Funktion an der Stelle x0 für h gegen null“, sprich „lass den rechten Endpunkt der Sekante gegen den linken hin konvergieren und bilde den Grenzwert hieraus“.
H-Methode sagt mir nichts, ist das nicht die Ableitung im Punkt x0 was du meinst?
https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Differenzierbarkeit ist doch was du meinst?
Ja